Логико-вероятностное исчисление

Логико-вероятностное исчисление (ЛВ-исчисление) — специальный раздел дискретной математики, в котором установлены чёткие правила замещения логических аргументов ($x_{i}$) в функциях алгебры логики $y(x_{1},...,x_{n})$ вероятностями их истинности $P({x_{i}})=0..1$ и замещения логических операций (конъюнкции ($\lor$), дизъюнкции ($\wedge$) и отрицания ($\lnot$)) арифметическими операциями: умножением ($\times$), сложением (+), вычитанием (-) соответственно.

История

Дж. Буль опубликовал в 1840 году статью, в которой ввел исчисление истинности высказываний, или булеву алгебру. Эта работа положила начало новой научной дисциплины — математической логики. С. Н. Бернштейн в 1917 г. распространил аксиоматику логики Буля на события и ввел вероятности событий. А. Н. Колмогоров в 1929 году предложил построение аксиоматики теории вероятностей. В. И. Гливенко в 1939 г. обобщил аксиоматики логики, события и вероятности. Он показал, что для понятия вероятности можно использовать аксиоматику множества и меры.

И. А. Рябинин определил феномен логико-вероятностного исчисления (ЛВ-исчисления) в том, что оно не нашло отражение в математических справочниках и энциклопедиях как научная дисциплина, хотя применяется в различных приложениях.

И. А. Рябинин сформулировал аксиоматику ЛВ-исчисления в надежности и безопасности в технике на основе базовых аксиоматик логики, событий, вероятности и множества. В его аксиоматике элементы имеют два уровня значений (0 и 1), элементы связаны логическими связями И, ИЛИ и НЕ, могут иметься циклы и повторные элементы. Логико-вероятностную модель (ЛВ-модель) риска строят по реальной схеме функционирования системы в виде кратчайших путей успешного функционирования или минимальных сечений отказов, вычисляют весомости и значимости инициирующих событий, логическую функцию приводят к ортогональной форме и заменяют на вероятностную функцию.

ЛВ-исчисление в технологиях управления риском в структурно-сложных технических, экономических и социальных системах использует базовые аксиоматики логики, события, вероятности, множества, аксиоматику И. А. Рябинина. Однако дополнительно рассматриваются события, имеющие не два, а конечное множество значений, статистические данные о появлении и неуспехе событий (состояний) системы, а также расширенное определение события.

Особенности

ЛВ-исчисление в технологиях управления риском использует следующие события: события-состояния, события-параметры и события-градации; события неуспеха и события появления состояния; инициирующие и производные события; группы несовместных событий-градаций, события невалидности и валидности; зависимые и независимые события; события в экономике, политике, праве и законах.

ЛВ-исчисление рассматривает системы и процессы как структурно-сложные со случайными событиями и логическими переменными, определяет правила перехода от базы статистических данных к табличной базе знаний, формирует базу знаний в виде систем логических и вероятностных уравнений для состояний системы. ЛВ-исчисление выделяет пять классов ЛВ-моделей риска и эффективности: ЛВ-моделирование, ЛВ-классификация, ЛВ-эффективность, ЛВ-прогнозирование, гибридные сценарные ЛВ-модели риска.

Определены шесть процедур для классов ЛВ-моделей риска: построение ассоциативных, сценарных комплексных, гибридных и динамических ЛВ-моделей риска; идентификация моделей риска по статистическим данным; анализ риска по вкладам инициирующих событий-градаций в хвост распределения параметра эффективности; схемы оперативного и стратегического управления риском системы; прогнозирование в пространствах времени и состояний; синтез и анализ вероятностей событий по нечисловой, неточной и неполной экспертной информации.

С использованием ЛВ-исчисления установлены также правила перехода между ЛВ-моделями классов, введена модификация формулы Байеса для связи вероятностей появления и неуспеха событий, предложена схема обучения и тестирования ЛВ-модели по статистическим данным, обосновано правило раздельного вычисления вероятности и эффективности производных событий.