Метод математической индукции для суммы обратных произведений текущего и последующего чисел

Доказательство методом математической индукции суммы обратных произведений текущего и последующего чисел использует индукцию вверх от n к n+1.

Обозначения

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} — число слагаемых;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n_1} — номер первого текущего числа, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n_1>0}  ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_i} — Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i} -ое слагаемое, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_i=\frac{1}{(n_1+i-1)(n_1+i)}}  ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n} — сумма Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} слагаемых, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n=\sum\limits_{i=1}^n a_i} .

Формула

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n=\frac{n}{n_1(n_1 + n)}\Leftrightarrow\frac{1}{n_1(n_1+1)}+\frac{1}{(n_1+1)(n_1+2)}+\ldots+\frac{1}{(n_1+n-1)(n_1+n)}=\frac{n}{n_1(n_1+n)}\Leftrightarrow\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{(n_1+i-1)(n_1+i)}=\frac{n}{n_1(n_1+n)}} .

Доказательство

1. Проверяем формулу Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_k} при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k=1.\ S_1=\frac{1}{(n_1+1-1)(n_1+1)}=\frac{1}{n_1(n_1+1)}} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_1=\frac{1}{n_1(n_1+1)}} , очевидно, формула верна.

2. Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что формула Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_k } верна при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k=n} , и доказываем формулу для Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k=n+1} .

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_{n+1}=S_n+a_{n+1}=\frac{n}{n_1(n_1+n)}+\frac{1}{[n_1+(n+1)-1][(n_1+(n+1)]}=\frac{n}{n_1(n_1+n)}+\frac{1}{(n_1+n)(n_1+n+1)}=\frac{n(n_1+n+1)+n_1}{n_1(n_1+n)(n_1+n+1)}=}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =\frac{(n n_1+n_1)+n(n+1)}{n_1(n_1+n)(n_1+n+1)}=\frac{n_1(n+1)+n(n+1)}{n_1(n_1+n)(n_1+n+1)}=\frac{(n+1)(n_1+n)}{n_1(n_1+n)(n_1+n+1)}=\frac{n+1}{n_1(n_1+n+1)}\Leftrightarrow S_{n+1}=\frac{n+1}{n_1(n_1+n+1)}} , то есть формула верна при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k=n+1} , ч.т.д.

Другие доказательства:

1. Доказательство суммы обратных произведений текущего и последующего чисел;
2. Доказательство суммы обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел;
3. Доказательство суммы обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел;
4. Доказательство суммы обратных сумм корней текущего и последующего чисел;
5. Доказательство суммы обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел;
6. Доказательство суммы обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел;
7. Доказательство суммы обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел;
8. Доказательство суммы обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел;
9. Доказательство суммы логарифмов отношений последующего и текущего чисел;
10. Доказательство суммы синусов кратных углов;
11. Доказательство суммы косинусов кратных углов;
12. ММИ для суммы арифметической прогрессии;
13. ММИ для суммы геометрической прогрессии;
14. ММИ для суммы n натуральных чисел;
15. ММИ для суммы квадратов n натуральных чисел;
16. ММИ для суммы кубов n натуральных чисел;
17. ММИ для суммы обратных произведений текущего и последующего чисел;
18. ММИ для суммы обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел;
19. ММИ для суммы обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел;
20. ММИ для суммы обратных сумм корней текущего и последующего чисел;
21. ММИ для суммы обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел;
22. ММИ для суммы обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел;
23. ММИ для суммы обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел;
24. ММИ для суммы обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел;
25. ММИ для суммы отношений числа и 2 в степени этого числа для n натуральных чисел;
26. ММИ для суммы логарифмов отношений последующего и текущего чисел;
27. ММИ для суммы синусов кратных углов;
28. ММИ для суммы косинусов кратных углов.

Ссылки

• Участник:Logic-samara