Неограниченный оператор

Пусть $H$ — гильбертово пространство. Под оператором в $H$ понимается линейное отображение $T$, область определения $D(T)$ и область значений $R(T)$ которого — подпространства $H$. При этом не предполагается, что оператор $T$ ограничен или непрерывен. Итак, чтобы задать неограниченный оператор на гильбертовом пространстве, требуется сначала определить область, на которой он действует, а затем указать, как он действует на этом подпространстве.

Сопряженные операторы

Сопоставим оператору $T$ сопряженный в смысле гильбертова пространства (гильбертов сопряженный) оператор $T^{*}$. При этом область определения $D(T^{*})$ оператора $T^{*}$ состоит из всех $y\in H$, для которых линейный функционал $x\longrightarrow (Tx,y)$ непрерывен на $D(T)$. Если вектор $y\in H$ обладает этим свойством, то по теореме Хана-Банаха функционал $x\longrightarrow (Tx,y)$ продолжается до некоторого непрерывного линейного функционала на пространстве $H$, и потому $\exists y^{*}\in H:(Tx,y)=(x,y^{*}),x\in D(T)$.

Гильбертов сопряженный $T^{*}$ определяется лишь для тех операторов $T$, области определения которых всюду плотны в $H$. Область определения $D(T^{*})$ оператора $T^{*}$ состоит из всех $y\in H$, для которых функционал $x\longrightarrow (Tx,y)$ непрерывен на $D(T)$, а значение $T^{*}y$ оператора $T^{*}$ в точке $y\in D(T^{*})$ однозначно определяется условием $(Tx,y)=(x,T^{*}y),x\in D(T)$.

Если $T=T^{*}$, то оператор $T$ называется самосопряженным.

Графики

Если $H$ — гильбертово пространство, то $H\times H$ также можно превратить в гильбертово пространство, определяя скалярное произведение двух элементов $\{a,b\}$ и $\{c,d\}$ пространства $H\times H$ равенством $(\{a,b\},\{c,d\})=(a,c)+(b,d)$, где в правой части фигурируют скалярные произведения элементов пространства $H$.

Норма в пространстве $H\times H$ определяется как $||\{a,b\}||^{2}=||a||^{2}+||b||^{2}$.

График $\zeta (T)$ оператора $T$ в пространстве $H$ — это подпространство пространства $H\times H$, состоящее из всех упорядоченных пар {$x,Tx$}, где $x$ пробегает $D(T)$.

Теорема. Если $T$ — плотно определенный оператор в пространстве $H$, то $\zeta (T^{*})=[V\zeta (T)]^{\bot }$, где правая часть — ортогональное дополнение подпространства $V\zeta (T)$ в пространстве $H\times H$. Теорема. Если $T$ — плотно определенный оператор в пространстве $H$, то $H\times H=V\zeta (T)\oplus \zeta (T^{*})$, причем справа стоит прямая сумма ортогональных подпространств.

Оператор $S$ является расширением оператора $T$ (т.е. $D(T)\subset D(S)$ и $Sx=Tx$, $\forall x\in D(T))$ тогда и только тогда, когда $\zeta (T)\subset \zeta (S)$, т.е. $T\subset S$.

Теорема. Пусть $S,T$ и $ST$ - плотно определенные операторы в $H$, тогда $T^{*}S^{*}\subset (ST)^{*}$. Кроме того, если $S\in B(H)$, то $T^{*}S^{*}=(ST)^{*}$. В первом случае оператор $(ST)^{*}$ является расширением оператора $T^{*}S^{*}$, во втором же области определения операторов $T^{*}S^{*}$ и $(ST)^{*}$ совпадают.

Оператор в $H$ называется замкнутым, если его график является замкнутым подпространством пространства $H\times H$.

Теорема. Если $T$ — плотно определенный оператор в пространстве $H$, то оператор $T^{*}$ замкнут. В частности, самосопряженный оператор замкнут. Теорема. Если $T$ — плотно определенный замкнутый оператор в $H$, то область определения $D(T^{*})$ оператора $T^{*}$ всюду плотна в $H$ и $T^{**}=T$.

По теореме о замкнутом графике оператор ${\underline {T\in B(H)}}$ тогда и только тогда, когда он замкнут и $D(T)=H$.

Симметрические операторы

Оператор $T$ в гильбертовом пространстве $H$ называется симметрическим, если $(Tx,y)=(x,Ty)$, $\forall x,y\in D(T))$. Таким образом, симметрические операторы с всюду плотными областями определения — это в точности те операторы Т, для которых $T\subset T^{*}$. Для оператора $T\in B(H)$ условия симметричности и самосопряженности совпадают. В общем случае это уже не так.

Теорема. Пусть $T$ — симметрический плотно определенный оператор в пространстве $H$. Если$D(T)=H$, то оператор $T$ самосопряжен и ограничен. Если оператор $T$ самосопряжен и инъективен, то его образ $R(T)$ всюду плотен в $H$ и оператор $T^{-1}$ самосопряжен. Если образ $R(T)$ оператора $T$ всюду плотен в $H$, то оператор $T$ инъективен. Если $R(T)=H$, то оператор $T$ самосопряжен и инъективен, а $T^{-1}\in B(H)$.

Операторы вида $T^{*}T$ обладают интересными свойствами. В частности, область определения такого оператора$D(T^{*}T)$ не может быть очень маленькой.

Теорема. Пусть $T$ — плотно определенный замкнутый оператор в пространстве $H$, и пусть $Q=I+T^{*}T$, $I$ — единичный оператор с областью определения $H$. Тогда справедливы следующие утверждения: Оператор $T^{*}T$ самосопряжен, а оператор $Q$ взаимно однозначно отображает свою область определения $D(Q)=D(T^{*}T)=\{x\in D(T):Tx\in D(T^{*})\}$ на все пространство $H$. Существует единственная пара операторов $B,C\in B(H)$, удовлетворяющих условиям $C=TB$ и $B(I+T^{*}T)\subset (I+T^{*}T)B=I$. При этом $||B||\leqslant 1,||C||\leqslant 1,B\geqslant 0$. Если $T'$ — сужение оператора $T$ на подпространство $D(T^{*}T)$, то график $\zeta (T')$ оператора $T'$ всюду плотен в $\zeta (T)$.

Симметрический оператор $T$ в пространстве $H$ называется максимальным симметрическим, если он не имеет собственных симметрических расширений, т.е. если из $T\subset S$, где $S$ симметричен, следует, что $S=T$.

Теорема. Самосопряженные операторы являются максимальными симметрическими операторами. Теорема. Если $T$ — симметрический оператор в пространстве $H$ (не обязательно плотно определенный), то справедливы следующие утверждения: $||Tx+ix||^{2}=||x||^{2}+||Tx||^{2}$, $x\in D(T)$; Оператор $T$ замкнут тогда и только тогда, когда подпространство $R(T+iI)$ замкнуто в $H$; Оператор $R(T+iI)$ инъективен; Если $R(T+iI)=H$, то $T$ — максимальный симметрический оператор; Все предыдущие утверждения остаются справедливыми, если в них заменить $i$ на $-i$.

Преобразование Кэли

Определение

Отображение $\ t\longrightarrow {\frac {t-i}{t+i}}\$ устанавливает взаимно однозначное соответствие между вещественной осью и единичной окружностью с выколотой точкой 1. Каждый самосопряженный оператор $T\in B(H)$ порождает унитарный оператор $U=(T-iI)(T+iI)^{-1}$, причем любой унитарный оператор $U$, спектр которого не содержит точку 1, может быть получен таким способом.

Пусть $T$ — симметрический оператор в пространстве $H$, тогда $||Tx+ix||^{2}=||x||^{2}+||Tx||^{2}=||Tx-ix||^{2}$. Поэтому существует изометрия $U$ с областью определения $D(U)=R(T+iI)$ и образом $R(U)=R(T-iI)$ соответственно, определяемая формулой $U(Tx+ix)=Tx-ix$, $x\in D(T))$.

Поскольку оператор $(T+iI)^{-1}$ взаимно однозначно отображает $D(U)$ на $D(T)$, оператор $U$ можно записать также в виде $U=(T-iI)(T+iI)^{-1}$.

Оператор $U$ называется преобразованием Кэли оператора $T$, с помощью которого можно получить простое доказательство спектральной теоремы для самосопряженных (не обязательно ограниченных) операторов.

Основные свойства

Теорема. Пусть $U$ — преобразование Кэли симметрического оператора $T$ в пространстве $H$. Тогда справедливы следующие утверждения: Оператор $U$ замкнут тогда и только тогда, когда замкнут оператор $T$; $R(I-U)=D(T)$, оператор $\ I-U\$ инъективен, и оператор $T$ может быть восстановлен по $U$ при помощи формулы $T=i(I+U)(I-U)^{-1}$; Преобразования Кэли двух различных симметрических операторов не совпадают; Оператор $U$ унитарен тогда и только тогда, когда оператор $T$ самосопряжен. Обратное утверждение теоремы. Если $V$ — такой изометрический оператор в пространстве $H$, что оператор $\ I-V\$ инъективен, то $V$ является преобразованием Кэли некоторого симметрического оператора в пространстве $H$.

Индексы дефекта

Всякая изометрия $U$ с областью определения $D(U)$ расширяется (единственным образом) до изометрии, определенной на замыкании подпространства $D(U)$.

Пусть $U$ — преобразование Кэли симметрического оператора $T$ в пространстве $H$, тогда оператор $U$ замкнут тогда и только тогда, когда замкнут оператор $T$. Из этого следует, что каждый симметрический оператор в пространстве $H$ обладает замкнутым симметрическим расширением.

Пусть $T$ — замкнутый и плотно определенный симметрический оператор в пространстве $H$, $U$ — его преобразование Кэли, тогда подпространства $R(T+iI)$ и $R(T-iI)\$замкнуты, и $U$ является изометрическим отображением первого из них на второе. Размерности ортогональных дополнений этих двух подпространств называются индексами дефекта оператора $T$.

Теорема. Пусть оператор $T$ замкнут, симметричен и плотно определен, тогда справедливы утверждения: Оператор $T$ самосопряжен тогда и только тогда, когда оба его индекса дефекта равны О; Оператор $T$ является максимальным симметрическим оператором в том и только в том случае, когда хотя бы один из его индексов дефекта равен 0; Оператор $T$ тогда и только тогда обладает самосопряженным расширением, когда два его индекса дефекта равны.

Литература

• Рудин У. Функциональный Анализ. — М.: Мир, 1975.
• Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 1: Функциональный анализ. — М.: Мир, 1977.