Неравенство Абеля

Нера́венство Аб́еля — неравенство, предоставляющее оценку суммы парных произведений чисел. С помощью этого неравенства могут быть доказаны признак Дирихле и признак Абеля сходимости рядов (впрочем, второй признак может быть выведен непосредственно из первого). Неравенство названо в честь Н. Х. Абеля, неявно его использовавшего (вместе с преобразованием, также названным его именем) в знаменитой статье (1826) о сходимости биномиального ряда.

Формулировка

Пусть заданы последовательность вещественных чисел Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{a_k\}_{k=1}^n} и последовательность вещественных или комплексных чисел Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{b_k\}_{k=1}^n} , причём последовательнсть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{a_k\}_{k=1}^n} (нестрого) монотонна. Пусть также Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B_m} обозначает сумму первых Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} членов последовательности Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{b_k\}_{k=1}^n} , то есть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B_m=b_1+b_2+\ldots+b_m} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m=1,2,\ldots,n} . Тогда имеет место оценка:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\sum_{k=1}^na_kb_k\right|\leqslant B(|a_1|+2|a_n|)} , где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B=\max_{1\leqslant m\leqslant n}|B_m|} .

Примечательно, что при фиксированной последовательности Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{b_k\}_{k=1}^n} указанная оценка зависит лишь от первого и последнего члена последовательности Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{a_k\}_{k=1}^n} .

Если последовательность Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{a_k\}_{k=1}^n} не возрастает и все Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_k} неотрицательны (то есть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_1\geqslant a_2\geqslant\ldots\geqslant a_n\geqslant 0} ), то оценка упрощается:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\sum_{k=1}^na_kb_k\right|\leqslant Ba_1} .

Доказательство

Пусть последовательность Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{a_k\}_{k=1}^n} не возрастает. Применяя дискретное преобразование Абеля с учётом того, что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_{k+1}-a_k\leqslant 0} , получим:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{align} \left|\sum_{k=1}^n a_kb_k\right| &= \left|a_nB_n - \sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1} - a_k) B_k\right| \leqslant\\ & \leqslant |a_n|\cdot|B_n| + \sum_{k=1}^{n-1}|a_{k+1} - a_k|\cdot |B_k| \leqslant \\ &\leqslant |a_n|B + \sum_{k=1}^{n-1}|a_{k+1} - a_k|B = \\ &= |a_n|\cdot B + \sum_{k=1}^{n-1}(a_k - a_{k+1})B = \\ &=(|a_n| + a_1-a_2+a_2-a_3+\ldots+a_{n-1}-a_n)B=\\ &=(|a_n|-a_n+a_1)B\leqslant \\ &\leqslant B(|a_1|+2|a_n|). \end{align}}

Если все Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_k} неотрицательны, то Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |a_n|=a_n} и предпоследнее выражение в приведённой выше цепочке равенств и неравенств будет равно Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Ba_1} . Аналогичное рассуждение для неубывающей последовательности Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{a_k\}_{k=1}^n} также приводит к требуемой оценке:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{align} \left|\sum_{k=1}^n a_kb_k\right| &\leqslant (|a_n|+a_n-a_1)B\leqslant \\ &\leqslant B(|a_1|+2|a_n|). \end{align}} .

Варианты и обобщения

Обобщение на нормированные пространства

Неравенство Абеля остаётся верным в более общем случае, когда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{b_k\}_{k=1}^n}  — последовательность векторов из некоторого нормированного пространства над полем вещественных чисел (выражения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\sum_{k=1}^n a_kb_k\right|} и $|B_{m}|$ тогда следует понимать как нормы соответствующих векторов в этом пространстве). Приведённое выше доказательство дословно переносится на указанный случай.

Вещественный случай

Если все $b_{k}$ вещественны, а $\{a_{k}\}_{k=1}^{n}$ — невозрастающая последовательность неотрицательных чисел, то оценку суммы парных произведений $a_{k}b_{k}$ можно уточнить снизу (так же с помощью дискретного преобразования Абеля):

$a_{1}\min _{1\leqslant m\leqslant n}B_{m}\leqslant \sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leqslant a_{1}\max _{1\leqslant m\leqslant n}B_{m}$,

где, как и раньше, $B_{m}=\sum _{k=1}^{m}b_{k}$, $m=1,2,\ldots ,n$. Это двойное неравенство также называется неравенством Абеля (для числовых последовательностей) — именно оно, по сути, использовалось Абелем в его статье.

Т. Бромвичу (1908) принадлежит следующее обобщение предыдущей оценки (оно находит некоторые специальные приложения). Пусть

$H_{1}=h_{1}=0;\quad H_{m}=\max(B_{1},B_{2},\ldots ,B_{m-1}),\quad h_{m}=\min(B_{1},B_{2},\ldots ,B_{m-1})$ для $1<m\leqslant n$;

$H'_{m}=\max(B_{m},\ldots ,B_{n}),\quad h'_{m}=\min(B_{m},\ldots ,B_{n})$ для $1\leqslant m\leqslant n$.

Тогда

$h_{m}(a_{1}-a_{m})+h'_{m}a_{m}\leqslant \sum _{k=1}^{n}a_{i}b_{i}\leqslant H_{m}(a_{1}-a_{m})+H'_{m}a_{m},\quad 1\leqslant m\leqslant n.$

В случае $m=1$ это двойное неравенство превращается в предыдущее.

Также существуют интегральные аналоги неравенства Абеля.

Примечания

Источники

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Неравенство Абеля», расположенная по адресу: — https://ru.ruwiki.ru/wiki/Неравенство_Абеля Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».