Неравенство Абеля

Нера́венство Аб́еля — неравенство, предоставляющее оценку суммы парных произведений чисел. С помощью этого неравенства могут быть доказаны признак Дирихле и признак Абеля сходимости рядов (впрочем, второй признак может быть выведен непосредственно из первого). Неравенство названо в честь Н. Х. Абеля, неявно его использовавшего (вместе с преобразованием, также названным его именем) в знаменитой статье (1826) о сходимости биномиального ряда.

Формулировка

Пусть заданы последовательность вещественных чисел $\{a_{k}\}_{k=1}^{n}$ и последовательность вещественных или комплексных чисел $\{b_{k}\}_{k=1}^{n}$, причём последовательнсть $\{a_{k}\}_{k=1}^{n}$ (нестрого) монотонна. Пусть также $B_{m}$ обозначает сумму первых $m$ членов последовательности $\{b_{k}\}_{k=1}^{n}$, то есть $B_{m}=b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{m}$, $m=1,2,\ldots ,n$. Тогда имеет место оценка:

$\left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|\leqslant B(|a_{1}|+2|a_{n}|)$, где $B=\max _{1\leqslant m\leqslant n}|B_{m}|$.

Примечательно, что при фиксированной последовательности $\{b_{k}\}_{k=1}^{n}$ указанная оценка зависит лишь от первого и последнего члена последовательности $\{a_{k}\}_{k=1}^{n}$.

Если последовательность $\{a_{k}\}_{k=1}^{n}$ не возрастает и все $a_{k}$ неотрицательны (то есть $a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant \ldots \geqslant a_{n}\geqslant 0$), то оценка упрощается:

$\left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|\leqslant Ba_{1}$.

Доказательство

Пусть последовательность $\{a_{k}\}_{k=1}^{n}$ не возрастает. Применяя дискретное преобразование Абеля с учётом того, что $a_{k+1}-a_{k}\leqslant 0$, получим:

${\begin{aligned}\left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|&=\left|a_{n}B_{n}-\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k}\right|\leqslant \\&\leqslant |a_{n}|\cdot |B_{n}|+\sum _{k=1}^{n-1}|a_{k+1}-a_{k}|\cdot |B_{k}|\leqslant \\&\leqslant |a_{n}|B+\sum _{k=1}^{n-1}|a_{k+1}-a_{k}|B=\\&=|a_{n}|\cdot B+\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k}-a_{k+1})B=\\&=(|a_{n}|+a_{1}-a_{2}+a_{2}-a_{3}+\ldots +a_{n-1}-a_{n})B=\\&=(|a_{n}|-a_{n}+a_{1})B\leqslant \\&\leqslant B(|a_{1}|+2|a_{n}|).\end{aligned}}$

Если все $a_{k}$ неотрицательны, то $|a_{n}|=a_{n}$ и предпоследнее выражение в приведённой выше цепочке равенств и неравенств будет равно $Ba_{1}$. Аналогичное рассуждение для неубывающей последовательности $\{a_{k}\}_{k=1}^{n}$ также приводит к требуемой оценке:

${\begin{aligned}\left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|&\leqslant (|a_{n}|+a_{n}-a_{1})B\leqslant \\&\leqslant B(|a_{1}|+2|a_{n}|).\end{aligned}}$.

Варианты и обобщения

Обобщение на нормированные пространства

Неравенство Абеля остаётся верным в более общем случае, когда $\{b_{k}\}_{k=1}^{n}$ — последовательность векторов из некоторого нормированного пространства над полем вещественных чисел (выражения $\left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|$ и $|B_{m}|$ тогда следует понимать как нормы соответствующих векторов в этом пространстве). Приведённое выше доказательство дословно переносится на указанный случай.

Вещественный случай

Если все $b_{k}$ вещественны, а $\{a_{k}\}_{k=1}^{n}$ — невозрастающая последовательность неотрицательных чисел, то оценку суммы парных произведений $a_{k}b_{k}$ можно уточнить снизу (так же с помощью дискретного преобразования Абеля):

$a_{1}\min _{1\leqslant m\leqslant n}B_{m}\leqslant \sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leqslant a_{1}\max _{1\leqslant m\leqslant n}B_{m}$,

где, как и раньше, $B_{m}=\sum _{k=1}^{m}b_{k}$, $m=1,2,\ldots ,n$. Это двойное неравенство также называется неравенством Абеля (для числовых последовательностей) — именно оно, по сути, использовалось Абелем в его статье.

Т. Бромвичу (1908) принадлежит следующее обобщение предыдущей оценки (оно находит некоторые специальные приложения). Пусть

$H_{1}=h_{1}=0;\quad H_{m}=\max(B_{1},B_{2},\ldots ,B_{m-1}),\quad h_{m}=\min(B_{1},B_{2},\ldots ,B_{m-1})$ для $1<m\leqslant n$;

$H'_{m}=\max(B_{m},\ldots ,B_{n}),\quad h'_{m}=\min(B_{m},\ldots ,B_{n})$ для $1\leqslant m\leqslant n$.

Тогда

$h_{m}(a_{1}-a_{m})+h'_{m}a_{m}\leqslant \sum _{k=1}^{n}a_{i}b_{i}\leqslant H_{m}(a_{1}-a_{m})+H'_{m}a_{m},\quad 1\leqslant m\leqslant n.$

В случае $m=1$ это двойное неравенство превращается в предыдущее.

Также существуют интегральные аналоги неравенства Абеля.

Примечания

Источники

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Неравенство Абеля», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Неравенство_Абеля» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».