Угловой момент в квантовой механике

Угловой момент выражается в квантовой механике посредством операторов подобно прочим механическим наблюдаемым. Также, как в классической механике, угловой момент системы, состоящей из нескольких частиц, складывается из угловых моментов отдельных частиц. Но при этом угловой момент частицы, помимо вклада r×p её импульса, включает ещё одно слагаемое: спин, являющийся внутренним угловым моментом частицы.

В разных задачах слагаемые, дающие вклад в угловой момент, группируются по-разному. Поэтому словосочетание «оператор углового момента» может нести разный смысл в зависимости от контекста и, как правило, вид и охват конкретного оператора нуждаются в уточнении.

Для систем, включающих заряженные частицы, угловые моменты определяют магнитный момент.

Виды операторов и их обозначения

Оператор L = r×p называется орбитальным угловым моментом по причине ключевой роли в задачах относительного движения частиц (таких например, как задачи атомной физики).

Оператор S выражает спин. В атомной физике под S подразумевается спин электрона.

Оператор J = L + S выражает полный угловой момент частицы; в атомной физике подразумевается электрон.

Иногда буквы «L», «S» и «J» используются для соответствующих суммарных величин; то есть, сложенных для нескольких частиц (в атомной физике — по всем электронам атома).

Спин атомного ядра обычно обозначается как I. Если прибавить его к суммарному полному угловому моменту электронов атома, то получится угловой момент атома, обозначаемый F.

В данной статье не рассматривается релятивистский угловой момент и предполагается система отсчёта, скорости частиц относительно которой невелики в сравнении со скоростью света. Тем не менее, безмассовые частицы, лишённые такой системы отсчёта, также способны нести угловой момент, включая и внутренний (то есть, не вызванный перемещением в пространстве). Последнее объясняется в разделе «спин безмассовой частицы».

Аксиальный вектор момента

В дальнейшем угловой момент обозначен буквой «J» независимо от конкретной его разновидности.

Значениями оператора J (обозначаемого полужирным шрифтом) являются аксиальные векторы, как и классических моментов. В трёхмерных декартовых координатах J можно считать составленным из трёх компонент (J_x, J_y, J_z). Компоненты вектора также называются его проекциями.

Однако, значения такого J, что не равен тождественно нулю, «не определены» в ещё худшем смысле, чем оператора импульса p, который можно измерить с произвольной точностью, хотя и отдельно от положения в пространстве. Проекции J на разные оси не коммутируют между собой, а именно

$$\left[J_{x},J_{y}\right]=i\hbar J_{z},\;\;\left[J_{y},J_{z}\right]=i\hbar J_{x},\;\;\left[J_{z},J_{x}\right]=i\hbar J_{y}.$$

Из-за этого векторный оператор J, как таковой, не задаёт разложение пространства состояний системы на собственные подпространства.

Причиной этого отличия углового момента от импульса является некоммутативность пространственных вращений, определяющих угловой момент, в отличие от параллельных переносов, определяющей импульс.

Величина j углового момента

Квантовой системе (пространство состояний которой мы обозначим как H) и выбранному для неё оператору момента могут быть доступны различные значения величины углового момента. Его величина определяется собственным значением квадрата J² оператора углового момента с подразумеваемой операцией евклидова скалярного произведения. Все они имеют вид ℏ²j(j + 1), где неотрицательное число j является целым или полуцелым. j выражает максимальное, по соответственному собственному подпространству H_j, значение проекции углового момента в единицах ℏ. Ограничивать оператор проекции момента на собственное подпространство J² возможно благодаря коммутированию этой пары операторов. Важность как этих величин, так и выбранной единицы измерения, опирается на то, что J² равен инварианту Казимира алгебры Ли so(3,ℝ) вращений трёхмерного пространства, действующей на те степени свободы, по которым вычисляется конкретный оператор. В математических выкладках J считается безразмерным; а именно, подразумевается ℏ = 1.

Для орбитального углового момента описанное выше число j всегда является целым, обозначается как ℓ и называется орбитальным квантовым числом.

Собственные состояния J_z при фиксированном j

Рассмотрение лишь тех состояний квантовой системы, что имеют конкретное значение величины J, формулируется математически как ограничение с H на H_j — введённое выше собственное подпространство оператора J², определяемое числом j. Действие на нём алгебры вращений выводится из неприводимого представления so(3,ℝ), имеющего, в терминологии теории представлений, вес j. Это представление всегда имеет размерность 2j + 1.

При фиксированном таким образом числе j, каждая одномерная проекция вектора J имеет ровно 2j + 1 собственных значений, расположенных от −j до j включительно с шагом 1. Поскольку матрица Паули, соответствующая направлению z, диагональна, то обычно предпочитают проекцию J_z для собственного разложения. Для работы с собственными состояниями J_z удобны вспомогательные операторы J₊ = J_x + iJ_y, повышающий значение на 1 и J₋ = J_x − iJ_y, понижающий значение на 1.

В невырожденном случае (то есть, когда действие алгебры вращений неприводимо на рассматриваемом подпространстве) достаточно выбрать в H_j один вектор состояния в каком-нибудь из собственных подпространств J_z и операторы J_± позволяют построить базис всего H_j, состоящий из собственных векторов J_z — по одному для каждого собственного значения. В общем случае H_j имеет размерность (2j + 1)k, где k натурально или бесконечно. Число k задаёт размерность каждого из 2j + 1 собственных подпространств J_z, именуемую в квантовой механике кратностью вырождения; в частности, k = 1 в невырожденном случае.

Значения j

j = 0

Синглетные состояния. J = 0.

Примеры из атомной физики:

• Суммарный угловой момент заполненного электронами подуровня атомной оболочки (то есть, 4ℓ + 2 электронов, занимающих все возможные состояния с фиксированными n и ℓ).
• Орбитальный момент s-электрона в атоме; то есть, ℓ = 0.

В атомной спектроскопии нулевой суммарный орбитальный момент обозначается буквой «S».

j = 1/2

Дублеты; размерность подпространства чётна. В невырожденном случае для j = 1/2 имеются лишь «два уровня» (или «два квантовых состояния») что, в терминологии квантовой физики, означает двумерность гильбертова пространства состояний; см. спинор. Конкретные чистые квантовые состояния параметризуются в этом случае точками сферы S², выражающими направления углового момента в пространстве. Действует фундаментальное представление алгебры вращений so(3,ℝ), а также группы Ли Spin(3).

Стандартный пример — спин электрона.

j = 1

Триплеты. Действует стандартное представление группы Ли SO(3,ℝ) вращений трёхмерного пространства, что в невырожденном случае позволяет описать чистое квантовое состояние обычным 3-вектором, но с комплексными коэффициентами. (1, i, 0), (1, −i, 0) и (0, 0, 1) являются собственными векторами J_z, но прямой доступ трёхмерной геометрии к векторам состояния снижает сравнительную ценность этого универсального (для невырожденных случаев) базиса при данном значении j. В общем случае пространство состояний j = 1 и действие на нём вращений выражаются как трёхмерие (в обычном пространственном смысле), тензорно умноженное на k-мерное комплексное пространство.

Визуализация состояний типа (1, ±i, 0), имеющих определённое направление вращения

Визуализация зеркально симметричного состояния типа (0, 0, 1), собственного (со значением 0) для Jz

Наличие нуля в собственных значениях J_z приводит, даже в случае трёхмерного пространства состояний, к появлению чистых квантовых состояний, угловой момент которых не имеет никакого определённого направления в пространстве.

Стандартный пример — орбитальный момент p-электрона в атоме; то есть, ℓ = 1.

В атомной спектроскопии суммарный орбитальный момент 1 обозначается буквой «P».

j = 3/2

Четыре состояния момента. Элементы пространства, в котором действует соответствующее неприводимое представление алгебры вращений, описывают как четырёхкомпонентные спиноры.

Пример из атомной физики  — суммарный угловой момент трёх электронов на p-подуровне (конфигурация np³ при каком-либо n ≥ 2) в основном, энергетически вырожденном состоянии. В этом «состоянии» кратности 4 три электрона занимают все три p-орбитали, отчего их суммарный орбитальный момент равен нулю и вклад в их суммарный момент вносит лишь спин.

Некоторые частицы и квазичастицы имеют спин 3/2.

j = 2

Пять состояний момента. Действует тензорный квадрат стандартного представления группы вращений, имеющий пятимерное неприводимое представление в качестве прямого слагаемого симметричной части. Элементы этого пятимерного пространства можно понимать как комплекснозначные квадратичные формы q на евклидовых векторах, удовлетворяющие условию нулевого следа q_klg^kl = 0.

Стандартный пример  — орбитальный момент d-электрона в атоме; то есть, ℓ = 2.

В атомной спектроскопии суммарный орбитальный момент 2 обозначается буквой «D».