Основные приёмы решения систем уравнений

Существует несколько общих методов преобразования систем уравнений, переводящих исходную систему в ей равносильную. Эти методы проще всего сформулировать на примере систем двух уравнений, однако соответствующие приёмы можно обобщить на системы с большим количеством уравнений.

Метод равносильного перехода

Обоснование метода. Если в системе какое-либо уравнение заменить равносильным ему, а другие оставить без изменений, то полученная система будет равносильна первоначальной.

Метод сложения

Обоснование метода. Если в системе какое-либо уравнение заменить на линейную комбинацию этого уравнения и какого-либо другого уравнения системы (или нескольких уравнений системы), а другие уравнения оставить без изменений, то полученная система будет равносильна первоначальной. На примере системы из двух уравнений это выглядит так: пусть — любые действительные числа, не равные нулю одновременно, тогда Основные аналитические способы решения систем уравнений.

${\begin{cases}f_{1}(x;y)=0;\\f_{2}(x;y)=0.\\\end{cases}}$, равносильно:

${\begin{cases}a\cdot f_{1}(x;y)+b\cdot f_{2}(x;y)=0;\\f_{2}(x;y)=0.\\\end{cases}}$

Метод подстановки

Обоснование метода. Если в одном из уравнений системы выразить одну из переменных и полученное выражение подставить в другое уравнение системы, то полученная система будет равносильна первоначальной. На примере системы из двух уравнений это выглядит так:

${\begin{cases}x=f_{1}(y);\\f_{2}(x;y)=0.\\\end{cases}}$, равносильно:

${\begin{cases}x=f_{1}(y);\\f_{2}(f_{1}(y);y)=0.\\\end{cases}}$

Метод разложения на множители

Обоснование метода. Если система содержит уравнение $f_{1}(x;y)\cdot f_{2}(x;y)=0;$, то на своей области определения она равносильна совокупности двух систем, в первой из которых данное уравнение заменено на $f_{1}(x;y)=0;$, а во второй — на $f_{2}(x;y)=0;$. На примере системы из двух уравнений это выглядит так:

система

${\begin{cases}f_{1}(x;y)\cdot f_{2}(x;y)=0;\\f_{3}(x;y)=0.\\\end{cases}}$

равносильна совокупности двух систем:

${\begin{cases}f_{1}(x;y)=0;\\f_{3}(x;y)=0.\\\end{cases}}$, когда $f_{2}(x;y)$ определена,

и

${\begin{cases}f_{2}(x;y)=0;\\f_{3}(x;y)=0.\\\end{cases}}$, когда $f_{1}(x;y)$ определена.

Метод замены переменной

Обоснование метода. Если в системе функции $f_{1}$ и $f_{2}$ являются сложными, то есть имеют вид $f_{1}(h(x;y);g(x;y))$ и $f_{2}(h(x;y);g(x;y))$, то, выполнив замену переменных $u=h(x;y)$ и $v=g(x;y)$, получим систему, равносильную исходной. После решения новой системы относительно переменных $u$ и $v$ необходимо вернуться к исходным переменным и определить их значения.

Графический метод

Обоснование метода. Чтобы решить систему уравнений графическим методом, необходимо:

1) посредством равносильных преобразований системы упростить входящие в неё уравнения так, чтобы удобно было строить множества точек, задаваемые уравнениями системы;

2) в одной системе координат построить множества точек, задаваемые уравнениями системы;

3) найти координаты точек пересечения построенных линий.

Координаты $x$ и $y$ найденных точек пресечения будут являться решениями $(x;y)$ системы.

Найденные таким способом значения будут приближёнными. Необходимо подставить этот набор значений в исходную систему, проверив, получается ли при этом набор верных равенств.

Пример

Необходимо решить систему уравнений:

${\begin{cases}x+2y=8;\\x^{2}+5x=0.\\\end{cases}}$

Преобразуем систему, разложив второе уравнение на множители:

${\begin{cases}2y=8-x;\\x(x+5)=0.\\\end{cases}}$

Второе уравнение обращается в $0$ при двух разных значениях переменной $x$. Перейдём к совокупности двух разных систем:

1. ${\begin{cases}y={\frac {8-x}{2}};\\x_{1}=0.\\\end{cases}}$

2. ${\begin{cases}y={\frac {8-x}{2}};\\x_{2}=-5.\\\end{cases}}$

Ответ: $(0;4),(-5;6,5)$

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Основные приёмы решения систем уравнений», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Основные_приёмы_решения_систем_уравнений» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».