Перенормировка

Перенормировка (или ренормализация) — математический прием, применяемый в квантовой теории поля, заключающийся в том, что величины, которые вначале вводятся как внешние параметры задачи, сами изменяются в результате уравнений движения, что позволяет избегнуть нефизических (например бесконечных) наблюдаемых величин в решениях уравнений.

Когда в классической механике при описании движения одного тела во внешних полях в исходные уравнения вводится масса тела $m_{0}$, то можно быть уверенным, что во всех динамических процессах реальная, наблюдаемая масса тела будет равняться этой величине $m_{0}$.

В квантовой теории поля дело обстоит иначе. Из-за того, что любая частица существует за счёт какого-либо взаимодействия (иначе бы она просто никак не проявлялась в нашем мире), она непрерывно испускает и поглощает виртуальные частицы, в частности кванты-переносчики этого взаимодействия. Другими словами, исходная частица находится не в покое, не в абсолютном вакууме, а в постоянном взаимодействии с нулевыми колебаниями других полей. Такое явление можно назвать и самодействием частицы, то есть взаимодействием с полем, порождённым ею же самой. Это самодействие и приводит к изменению динамических характеристик частицы, в частности, её эффективной массы.

Описанное выше конкретное явление — это перенормировка в вакууме. Если же частица находится во внешних полях, то и величина изменения динамических параметров (в данном случае массы), тоже меняется. Такое изменение носит название перенормировки во внешних полях.

Самодействие в классической физике

Перенормировка в квантовой электродинамике: простое электрон-фотонное взаимодействие, которое определяет заряд электрона в одной точке перенормировки, оказывается состоящим из более сложных взаимодействий в другой

Проблема бесконечностей впервые возникла в классической электродинамике точечных частиц в XIX и начале XX века.

Масса заряженной частицы должна включать энергию-массу, содержащуюся в электростатическом поле частицы (электромагнитную массу). Пусть частица с зарядом q представляет собой заряженную сферическую оболочку радиуса $r_{e}$. Энергия-масса поля выражается как

$m_{\mathrm {em} }c^{2}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {1 \over 2}E^{2}\,dV={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \limits _{r_{e}}^{\infty }{\frac {1}{2}}\left({q \over 4\pi r^{2}}\right)^{2}4\pi r^{2}\,dr={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{q^{2} \over 8\pi r_{e}}$

и становится бесконечной, когда $r_{e}$ стремится к нулю. Это приводит к тому, что точечная частица должна обладать бесконечной инерцией и, следовательно, не может находиться в ускоренном движении. В данном случае значение $r_{e}$, при котором $m_{\mathrm {em} }$ равняется массе электрона, называется классическим радиусом электрона, который (полагая $q=e$) оказывается равным

$r_{e}={e^{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}m_{\mathrm {e} }c^{2}}=\alpha {\hbar \over m_{\mathrm {e} }c}\approx 2{,}8\times 10^{-15}\$ м,

где $\alpha \approx 1/137$ — постоянная тонкой структуры, а $\hbar /m_{\mathrm {e} }c$ — комптоновская длина волны электрона.

Полная заряженная масса сферической заряженной частицы включает «голую» массу сферической оболочки (в добавление к вышеупомянутой массе, ассоциируемой с её электрическим полем). Если формально позволить «голой» массе оболочки принимать отрицательные значения, оказывается возможным получить согласующуюся с экспериментом массу электрона даже в пределе нулевого радиуса оболочки. Этот приём был назван перенормировкой. Лоренц и Абрахам предприняли попытку разработать классическую теорию электрона именно в таком ключе. Эта ранняя работа вдохновила более поздние попытки регуляризации и перенормировки в квантовой теории поля.

При вычислении электромагнитных взаимодействий заряженных частиц существует соблазн пренебречь самодействием — действием поля частицы на неё саму. Но это самодействие необходимо, чтобы объяснить радиационное трение заряженных частиц, когда они испускают излучение (в определённой степени аналог электродвижущей силы самоиндукции, которая возникает в проводнике при изменении тока через него и препятствует этому изменению). Если считать электрон точечным, то значение самодействия расходится по тем же причинам, по которым расходится и электромагнитная масса, поскольку поле обратно квадратично.

Теория Абрахама — Лоренца включает в себя некаузальное (нарушающее принцип причинности) «предускорение»: в определённых условиях электрон должен начинать двигаться до того, как к нему прикладывается сила. Это признак того, что точечный предел несовместим с реальностью.

В квантовой теории поля проблема расходимости менее выражена, чем в классической, поскольку в квантовой теории поля заряженная частица испытывает колебания вокруг среднего положения (так называемый Zitterbewegung) благодаря интерференции с виртуальными парами частица-античастица (т.е. между состояниями с положительной и отрицательной энергией), вследствие чего заряд эффективно размывается по области, сравнимой по размерам с комптоновской длиной волны. В квантовой электродинамике благодаря малости константы связи (≈1/137) электромагнитная масса расходится лишь как логарифм радиуса частицы.

Основная проблема перенормировок

После построения в конце 1920-х годов релятивистской квантовой механики и первых удачных вычислений некоторых реакций в рамках этой теории, были предприняты попытки провести расчёты и перенормировки таких параметров, как масса и заряд электрона. Однако они сразу же наткнулись на серьёзную трудность: согласно формулам квантовой теории поля и заряд, и масса электрона изменяются при взаимодействии с электромагнитным полем на бесконечную величину. Эта проблема стояла перед физиками около 20 лет, и только к концу 1940-х годов усилиями Фейнмана, Швингера и Томонаги удалось понять, что же было неправильным в подходе к перенормировкам. Они построили первую теорию, свободную от бесконечностей, квантовую электродинамику (КЭД), и расчёты в рамках этой теории были в дальнейшем подтверждены экспериментально.

Суть этого подхода состоит в следующем. В квантовой механике не все величины, для которых можно написать формулы, являются наблюдаемыми. Какие-либо требования можно налагать лишь на наблюдаемые величины, а ненаблюдаемые могут быть произвольными.

В применении к нашей ситуации, если мы допускаем, что, к примеру, реальная наблюдаемая масса частицы изменится по сравнению с тем параметром $m_{0}$, который мы вводим в уравнения, то мы вовсе не обязаны считать эту величину $m_{0}$ равной реальной массе частицы. Мы вообще не знаем и не должны знать, чему равно $m_{0}$, раз она нигде сама по себе среди наблюдаемых не встречается. Главное — чтобы результирующая, физическая масса частицы, получающаяся после перенормировки, была конечной и равнялась своему наблюдаемому значению. Тогда действительно, оказывается, что эту затравочную массу $m_{0}$ можно так устремить к бесконечности, что результирующая масса после перенормировок становится конечной.

Аналогичная процедура проводится и с зарядом электрона, а также с нормировкой его волновой функции. В результате выясняется, что таким приёмом можно устранить не только бесконечности в массе, заряде и волновой функции, но и вообще все ультрафиолетовые расходимости, которые могли бы возникнуть в теории. Этот факт вовсе не тривиален и означает, что квантовая электродинамика — перенормируемая теория.

Разумеется, в реальных вычислениях бесконечности не фигурируют. Для этого в процессе перенормировки вводится процедура регуляризации, которая делает все промежуточные вычисления конечными. После получения окончательного ответа регуляризационный параметр устремляют к нулю, и ответ при этом стремится к конечному значению.

Бегущие константы

Казалось бы, перенормировка массы или заряда электрона не приводит ни к каким видимым изменениям: в конце концов, всё, что мы делаем — это наблюдаем за игрой формул и получившийся результат называем физической массой электрона. Однако не всё так просто. Величина перенормировки зависит от конкретных условий, в которых находится электрон. Так, электрон в атоме (то есть электрон, наблюдаемый с большого расстояния по сравнению с комптоновской длиной волны — характерным расстоянием квантовополевых эффектов) и электрон, участвующий в столкновениях со сверхвысокой энергией, находятся в разных условиях. Это значит, что значения перенормированных массы и заряда электрона в этих условиях будут отличаться. Такая зависимость называется эволюцией констант с изменением масштаба взаимодействия. Сами же масса и заряд (а точнее, пропорциональная квадрату заряда постоянная тонкой структуры), зависящие от энергетического масштаба взаимодействия, называются бегущей массой и бегущей константой взаимодействия.

Очевидно, что значения массы и заряда могут также меняться и во внешних электромагнитных полях. При этом перенормированные значения заряда и массы сдвигаются по сравнению с их перенормированными значениями в вакууме на конечную величину, пропорциональную в КЭД квадрату напряжённости поля. Проще всего эволюцию бегущих констант проследить с помощью методов ренормгруппы.

Все описанные выше наблюдаемые явления были с высокой точностью подтверждены экспериментально, как в случае чистой КЭД, так и в случае других теорий — квантовой хромодинамики и теории электрослабого взаимодействия.

Перенормировки вне физики элементарных частиц

Как это нередко бывает, концепция перенормировок, придуманная в физике элементарных частиц, оказалась необычайно плодотворной в других областях физики, в особенности в физике конденсированных сред, где перенормировки имеют особенно наглядную интерпретацию. Более конкретно, перенормировки применяются при описании фазовых переходов, эффекта Кондо и т. д. В случае фазового перехода ферромагнетик-парамагнетик ренормгруппа естественным образом получается из построения Каданова и термодинамической гипотезы подобия.

См. также

• Теорема Боголюбова — Парасюка
• R-операция Боголюбова — Парасюка
• Ренормализационная группа

Литература

• Фейнман Р. КЭД — странная теория света и вещества. М., Наука, 1988 г., 144 с.
• Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. 4-е изд. М.: Наука, 1984. 600 с.