Плоскости скользящего отражения

Плоскость скользящего отражения — в кристаллографии совокупность пл. симметрии и параллельного ей переноса (скольжения), действующих не порознь, а совместно. Такой сложный элемент симметрии возможен лишь в бесконечных фигурах.

Описание

Плоскости скользящего отражения, содержащие трансляцию, невозможны в конечных телах, они свойственны лишь бесконечным фигурам. Действие плоскости скользящего отражения показано на рисунке 1.

Файл:Солт.png

Рисунок 1. Примеры плоскостей скользящего отражения (типа “C”)

Действие плоскости скользящего отражения можно рассмотреть на примере узора шахматной доски (рисунок 2).

Представив себе узор бесконечно протяженным, легко увидеть, что вдоль отмеченной на рисунке линии а-а проходит плоскость скользящего отражения типа "А". Действительно, чтобы совместить белый квадрат 1 с аналогичным квадратом 2, нужно первый квадрат перенести параллельно самому себе на место нижележащего черного квадрата и затем отразить в плоскости, перпендикулярной рисунку и проходящей вдоль а-а. При этом совместится весь бесконечно протяженный узор шахматной доски. Такая же плоскость будет прохо­дить и вдоль линии а₁-а₁.

Вдоль линии m-m проходят обычные плоскости симметрии: шах­матный узор совмещается сам с собой весь целиком при отражении в плоскости в плоскости mm без дополнительной трансляции.

Плоскости скользящего отражения изображают пунктирными или штриховыми линиями и обозначают символами А,В,С, соответственно, когда скольжение направлено вдоль осей x , y , z и величина его составляет а/2 вдоль оси x ( плоскость скользящего отражения "А"), в/2 вдоль оси у (плоскость скользящего отражения "В"); с/2 вдоль оси z. (плоскость скользящего отражения "С"). Существует еще два типа плоскостей скользящего отражения n и d

Плоскости типа " n " можно обнаружить в о.ц.к. решетке. Про­екция ячейки о.ц.к. показана на рис.6.6.

Если ионы по вершинам ячейки находятся в плоскости чертежа, то ион в центре ячейки — над плоскостью чертежа на рас­стоянии с/2, то есть на 1/2 вдоль оси z. Это обозначено на чер­теже значком 1/2. Атом из вершины ячейки может совместиться с атомом в центре, если произойдет отражение в плоскости n (нор­мальной к плоскости чертежа) и скольжение в этой плоскости на величину

${b+c \over 2}$ или ${a+c \over 2}$

Итак, плоскость "n" - это плоскость скользящего отраже­ния, у которой компонента скольжения направлена по диагонали па­раллелограмма, построенного на элементарных трансляциях, лежа­щих в этой плоскости, и равна 1/2 длины этой диагонали:

${a+b \over 2}$ ; ;

Файл:Плоскости.png

Рисунок2. Плоскости симметрии m и плоскости скользящего отражения (А и В)

Плоскости типа "d", или "алмазные", возможны только в гранецентрированных решетках. На примере структуры алмаза (рисунок 4) можно увидеть такую плоскость.

Элементарная ячейка структуры алмаза – это г.ц.к. ячейка, внутри которой есть еще 4 атома два на высоте 1/4 и два на вы­соте 3/4; атомы помещаются в центрах октантов, на которые мыс­ленно можно разбить куб, проведя плоскости через середины граней (рисунок 4).

Компоненты скольжения плоскости "d" направлены также вдоль диагонали элементарного параллелограмма, расположенного в плоскости отражения, но величина переноса составляет 1/4 длины диагонали:

${1 \over 4(a+b)}$ ; ${1 \over 4(b+c)}$ ; ${1 \over 4(a+c)}$

Файл:Скользящее отражение в кристалле.png

Рисунок 3 - Плоскости скользящего отражения типа “n” в о.ц.к. ячейке

Файл:Скользящее отражение.png

Рисунок 4. Плоскость скользящего отражения (d) в структуре алмаза.

Винтовая ось — это прямая, поворот вокруг которой на некоторый угол, соответствующий порядку оси, с последующей трансляцией вдоль оси на величину, кратную периоду идентичности t, совмещает точки тела. Обозначение винтовой оси в общем виде nS ,где n характеризует порядок поворотной оси (n= 1, 2, 3, 4, 6), а (S/n)t — величину трансляции вдоль оси. При этом S < n, S - целое число, оно может принимать следующие значение S = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Итак, для винтовой оси второго порядка трансляция составляет t/2, для винтовой оси третьего порядка наименьший перенос t/3.

Обозначение винтовой оси второго порядка будет 21. Совмещение частиц произойдет после поворота вокруг оси на $180^{\circ }$ с последующей трансляцией вдоль направления, параллельного оси, на t/2 . Наименьший перенос для винтовой оси третьего порядка равен t/3 — ось 31.

Однако возможны оси с переносом, кратным наименьшему. Поэтому возможна винтовая ось 32 с трансляцией (2/3)t . Оси 31 и 32 означают поворот вокруг оси на 120° по часовой стрелке с последующим переносом. Эти винтовые оси называются правыми. Если же поворот производить против часовой стрелки, то центовые оси симметрии называются левыми. При этом действие оси 31 правой тождественно действию оси 32 левой и 32 правой — 31 левой. Так же могут рассматриваться винтовые оси симметрии четвертого и шестого порядков: оси 41 и 43 оси 61 и 65, 62 и 64. могут быть правам и левыми.

Примечания

1. ↑ Wallpaper Groups - from Wolfram MathWorld. Дата обращения: 8 мая 2013. Архивировано 2 июня 2013 года.
2. ↑ H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek and H. Zassenhaus, Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space. Wiley, NY, 1978, p. 52.
3. ↑ J. Neubüser, B. Souvignier and H. Wondratschek, Corrections to Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space by Brown et al. (1978) [New York: Wiley and Sons], Acta Cryst (2002) A58, 301. http://journals.iucr.org/a/issues/2002/03/00/au0290/index.html Архивная копия от 18 января 2012 на Wayback Machine
4. ↑ Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Ю. Г. Загальская, Кристаллография, изд. МГУ, 1992, стр 22.
5. ↑ T. Janssen, J. L. Birman, V. A. Koptsik, M. Senechal, D. Weigel, A. Yamamoto, S. C. Abrahams and T. Hahn, Acta Cryst. (1999). A55, 761-782

Литература

• Дж. Вольф, Пространства постоянной кривизны. Перевод с английского. Москва: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1982.
• Ю.К. Егоров-Тисменко, Г.П. Литвинская, Теория симметрии кристаллов, М. ГЕОС, 2000 (доступно on-line http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834)
• Кристаллографическая группа // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — С. 106-108. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.
• Ковалев О.В. Неприводимые и индуцированные представления и копредставления федоровских групп. — М.: Наука, 1986. — 368 с.

Ссылки

• Пространственная группа — статья из Большой советской энциклопедии.

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Плоскости скользящего отражения», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Плоскости_скользящего_отражения» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».