Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени

Преобразование иррациональных выражений предполагает использование общих законов арифметических действий, понятие арифметического корня и его свойств.

Свойства операций

Приведённые ниже формулы верны, прежде всего, для арифметических корней любой степени (кроме особо оговоренных случаев). Они справедливы также для корней нечётной степени, у которых допускаются и отрицательные подкоренные выражения.

• Взаимопогашение корня и степени: 
  • для нечётного $n$:    ${\sqrt[{n}]{a^{n}}}=a$,
  • для чётного $n$:    ${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a^{n}}}}}=|a|$.
• Если $a<b$, то и ${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a}}}}<{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{b}}}}$.

Корень из произведения равен произведению корней из сомножителей:

• ${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{ab}}}}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a}}}}{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{b}}}}$.

Аналогично для деления:

• ${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{\frac {a}{b}}}}}={\frac {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a}}}}{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{b}}}}},\;b\neq 0$.

Следующее равенство есть определение возведения в дробную степень:

• $a^{m/n}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a^{m}}}}}=\left({\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a}}}}\right)^{m}=\left(a^{1/n}\right)^{m}$.

Величина корня не изменится, если его показатель и степень подкоренного выражения разделить на одно и то же число (множитель показателя степени и показатель степени подкоренного выражения):

• ${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}nk}]{\color {black}{a^{mk}}}}}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a^{m}}}}},\;n,k\in \mathbb {N} .$

Пример: ${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}6}]{\color {black}{64}}}}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}{2\cdot 3}}]{\color {black}{4^{3}}}}}={\color {blue}{\sqrt {\color {black}{4}}}}=2$,

• ${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}k}]{\color {black}{a}}}}}}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}nk}]{\color {black}{a}}}},\;n,k\in \mathbb {N}$.

Вынесение множителя из-под знака корня ${\sqrt[{n}]{a^{n+m}}}={\sqrt[{n}]{a^{n}\cdot a^{m}}}={\sqrt[{n}]{a^{n}}}\cdot {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a{\sqrt[{n}]{a^{m}}}$, где n ∈ N, n ≥ 2, a ≥ 0.

Внесение множителя под знак корня $a{\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a^{n}}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a^{n}b}}$, где a ≥ 0, b ≥ 0, n ∈ N, n ≥ 2.

Приведение подкоренного выражения к целому виду (иррациональность в знаменателе) ${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b^{k}}}}={\sqrt[{n}]{\frac {ab^{n-k}}{b^{k}b^{n-k}}}}={\sqrt[{n}]{\frac {ab^{n-k}}{b^{n}}}}={\frac {1}{b}}{\sqrt[{n}]{ab^{n-k}}}$, где a ≥ 0, b > 0.

Для корней нечётной степени можно указать дополнительное свойство:

• ${\sqrt[{n}]{-a}}=-{\sqrt[{n}]{a}}$.

Сопряжённые выражения

Одним из важнейших тождественных преобразований иррациональных выражений является умножение числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряженное числителю или знаменателю дроби. Выражение А (A≠0) называется множителем сопряженным выражению В, если произведение АВ не содержит радикалов.

Пример:

Для выражений $A={\sqrt {x}}\mp {\sqrt {y}}$ сопряженными будут соответственно выражения $B={\sqrt {x}}\pm {\sqrt {y}}$, т.к. произведение $A\cdot B=x-y$.

Примечания

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Преобразования_выражений,_включающих_корни_натуральной_степени» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».