Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень

Решение задач на преобразование выражений предполагает последовательное упрощение данных выражений. При этом используются свойства степеней и формулы сокращенного умножения. В некоторых случаях (при упрощении выражений, содержащих корни или степени с дробным показателем) целесообразно сделать замену переменной. При этом в качестве новой переменной выбирается переменная в степени, знаменатель которой является наименьшим общим кратным знаменателей, а числитель – наибольшим общим делителем числителей в показателях степеней этой переменной. Такая замена позволяет перейти к выражениям, содержащим только целые степени переменных.

Свойства операций

• степень равная единице: $a^{1}=a$,
• степень равная нулю: $a^{0}=1$, где $a\neq 0$,
• возведение в степень не коммутативно (переместительный закон не действует). Поэтому у него имеются две обратные операции: извлечение корня и логарифмирование,
  • Пример: если $3^{x}=10$, то $x=\log _{3}10$. Если $x^{2}=10$, то $x=\pm {\sqrt {10}}$.
• сложение показателей степени: $a^{b}a^{c}=a^{b+c}$,
• вычитание показателей степени: $\left.{a^{b} \over {a^{c}}}\right.=a^{b-c}$, где $a\neq 0$,
• Дистрибутивное (распределительное) свойство для возведения в степень: $(ab)^{c}=a^{c}b^{c}$, $\left({a \over b}\right)^{c}={{a^{c}} \over {b^{c}}}$, где $b\neq 0$,
• умножение показателей степени: $(a^{b})^{c}=a^{bc}$.

Некоторые алгебраические тождества

Преобразование выражений, включающих операцию возведения в квадрат и куб

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$,

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$,

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$,

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$,

$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$,

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$,

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$.

Преобразование выражений, включающих операцию возведения в произвольную степень

$a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q}$,

${\frac {a^{p}}{a^{q}}}=a^{p-q}$,

${(a^{p})}^{q}=a^{pq}=a^{qp}=({a^{q}})^{p}$,

$(ab)^{p}=a^{p}\cdot b^{p}$,

${({\frac {a}{b}})}^{p}={\frac {a^{p}}{b^{p}}}$.

Пример

Необходимо упростить выражение:

$1-x^{6}(x^{-2,7}-x^{-2,3})(x^{-3,3}+x^{-2,9}+x^{-2,5})$.

Решение:

Проведём замену переменной на $y=x^{0,1}$.

Выражение принимает вид:

$1-y^{-60}(y^{27}-y^{23})(y^{33}+y^{29}+y^{25})=1-y^{-60}y^{23}y^{25}(y^{4}-1)(y^{8}+y^{4}+1)=1-y^{-12}(y^{12}-1)=1-1+y^{-12}=y^{-12}$.

Проведём обратную замену и получим $x^{6/5}$.

Ответ: $x^{6/5}$.

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Преобразования_выражений,_включающих_операцию_возведения_в_степень» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».