Преобразования выражений, включающих операцию логарифмирования

Нахождение логарифмов чисел или выражений называется логарифмированием. Нахождение чисел или выражений по данным логарифмам называется потенцированием.

Способы упрощения выражений с логарифмами

1. Перевести десятичные дроби в обыкновенные. Это может упростить выражение и сделать его более понятным. Например, выражение $\log _{2}(0,5)$ можно перевести в $\log _{2}\!\left({\frac {1}{2}}\right)$.
2. Перевести смешанные дроби в неправильные. Это позволит увидеть аналогии между функциями, содержащимися в выражении. Например, выражение $\log _{2}\!\left(2{\frac {1}{2}}\right)$ можно перевести в $\log _{2}\!\left({\frac {5}{2}}\right)$.
3. Разложить числа на множители. Это позволит увидеть сокращения, которые можно использовать для упрощения выражения. Например, выражение $\log _{2}(12)$ можно разложить на множители как $\log _{2}(2^{2}\cdot 3)$.
4. Привести все логарифмы к одному основанию. Это позволит использовать свойства логарифмов для упрощения выражения. Например, пусть есть два логарифма: $\log _{2}(16)$ и $\log _{3}(16)$. Чтобы привести их к одному основанию, например 10, можно использовать формулу: $\log _{10}(16)=\log _{2}(16)/\log _{2}(10)=\log _{3}(16)/\log _{3}(10)$. Получатся логарифмы с одним основанием, что облегчает их сравнение и использование в дальнейших вычислениях.
5. Воспользоваться свойствами логарифмов для упрощения выражений. Например, свойство $\log(a^{b})=b\cdot \log(a)$ можно использовать для упрощения выражения $\log _{2}(10^{2})$ как $2\cdot \log _{2}(10)$.

Логарифмирование и возведение в степень — взаимообратные операции. Их свойства аналогичны и вытекают друг из друга.

Основные свойства логарифмов

Основное логарифмическое тождество

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество:

$a^{\log _{a}b}=b$

Следствие: из равенства двух вещественных логарифмов следует равенство логарифмируемых выражений. В самом деле, если $\log _{a}b=\log _{a}c$, то $a^{\log _{a}b}=a^{\log _{a}c}$, откуда, согласно основному тождеству: $b=c$.

Логарифмы единицы и числа, равного основанию

Два равенства, очевидных из определения логарифма:

$\log _{a}1=0;\;\log _{a}a=1.$

Логарифм произведения, частного, степени

Сводка формул в предположении, что все значения положительны:

	Формула	Пример
Произведение	$\log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)$	$\log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5$
Частное	$\log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)$	$\lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3$
Степень	$\log _{a}(x^{p})=p\log _{a}(x)$	$\log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6$
Степень в основании	$\log _{(a^{p})}(x)={\frac {1}{p}}\log _{a}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{p}}$	$\log _{2^{10}}{\sin {\left({\frac {\pi }{6}}\right)}}={\frac {\log _{2}{\frac {1}{2}}}{10}}=-{\frac {1}{10}}=-0{,}1$
Переход к новому основанию	$\log _{a}(x)={\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}$ a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, x > 0 $\log _{a}(b)={\frac {1}{\log _{b}(a)}}$

Примечания

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Преобразования выражений, включающих операцию логарифмирования», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Преобразования_выражений,_включающих_операцию_логарифмирования» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».