Преобразования тригонометрических выражений

1. При преобразовании выражения с большим количеством тригонометрических функций необходимо привести его виду с минимальным количеством разных функций. Для этого следует воспользоваться основными тригонометрическими тождествами, формулами приведения и другими формулами.
2. Если выражение содержит функции с разными аргументами, необходимо постараться привести их к одному аргументу.
3. Если для упрощения выражений необходимо получить кофункцию, следует воспользоваться формулами приведения.
4. Если в выражении имеются функции высоких степеней, можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством или формулами понижения степеней.

Основные тригонометрические тождества

Формула	Допустимые значения аргумента
$\operatorname {sin} ^{2}\alpha +\operatorname {cos} ^{2}\alpha =1$	$\forall \alpha$
$\operatorname {tg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operatorname {sec} ^{2}\alpha$	$\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$
$\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operatorname {cosec} ^{2}\alpha$	$\alpha \neq \pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$
$\operatorname {tg} \alpha \cdot \operatorname {ctg} \alpha =1$	$\alpha \neq {\frac {\pi n}{2}},\quad n\in \mathbb {Z}$

Формулы приведения

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

$f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha ),$

$f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha ),$

$f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}+\alpha \right)=\pm g(\alpha ),$

$f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha \right)=\pm g(\alpha ).$

Здесь $f$ — любая тригонометрическая функция, $g$ — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), $n$ — целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол $\alpha$ острый, например:

$\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha \,,$ или что то же самое: $\cos \left(90^{\circ }-\alpha \right)=\sin \alpha \,.$

Таблица, позволяющая получить некоторые формулы приведения:

${\displaystyle }$	${\frac {\pi }{2}}-\alpha$	${\frac {\pi }{2}}+\alpha$	$\pi -\alpha$	$\pi +\alpha$	${\frac {3\,\pi }{2}}-\alpha$	${\frac {3\,\pi }{2}}+\alpha$	$2\,\pi -\alpha$
$\sin$	$\cos \alpha$	$\cos \alpha$	$\sin \alpha$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\sin \alpha$
$\cos$	$\sin \alpha$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\sin \alpha$	$\sin \alpha$	$\cos \alpha$
$\operatorname {tg}$	$\operatorname {ctg} \,\alpha$	$-\operatorname {ctg} \,\alpha$	$-\operatorname {tg} \,\alpha$	$\operatorname {tg} \,\alpha$	$\operatorname {ctg} \,\alpha$	$-\operatorname {ctg} \,\alpha$	$-\operatorname {tg} \,\alpha$
$\operatorname {ctg}$	$\operatorname {tg} \,\alpha$	$-\operatorname {tg} \,\alpha$	$-\operatorname {ctg} \,\alpha$	$\operatorname {ctg} \,\alpha$	$\operatorname {tg} \,\alpha$	$-\operatorname {tg} \,\alpha$	$-\operatorname {ctg} \,\alpha$

Формулы половинного угла

Из формулы двойного угла для косинуса выводятся формулы половинного угла, в частности тангенса половинного угла:

Формулы половинного угла
$\sin {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 2}}$
$\cos {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1+\cos \alpha \over 2}}$
$\operatorname {tg} {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 1+\cos \alpha }}={\sin \alpha \over 1+\cos \alpha }={1-\cos \alpha \over \sin \alpha }$
$\operatorname {ctg} {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1+\cos \alpha \over 1-\cos \alpha }}={\sin \alpha \over 1-\cos \alpha }={1+\cos \alpha \over \sin \alpha }$

• В формулах половинного угла знаки перед радикалами следует выбирать в зависимости от знака тригонометрической функции, стоящей в левой части равенства.

В формуле $\operatorname {tg} {\alpha \over 2}={1-\cos \alpha \over \sin \alpha }$ и аналогичной для котангенса, левая и правая части имеют разные области определения, и невнимательность в преобразованиях может приводить к появлению лишних корней.

Формулы понижения степени

Синус	Косинус	Произведение
$\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}$	$\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}$	$\sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 4\alpha }{8}}$
$\sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4}}$	$\cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4}}$	$\sin ^{3}\alpha \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\sin 2\alpha -\sin 6\alpha }{32}}$
$\sin ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}$	$\cos ^{4}\alpha ={\frac {3+4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}$	$\sin ^{4}\alpha \cos ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }{128}}$
$\sin ^{5}\alpha ={\frac {10\sin \alpha -5\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }{16}}$	$\cos ^{5}\alpha ={\frac {10\cos \alpha +5\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }{16}}$	$\sin ^{5}\alpha \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\sin 2\alpha -5\sin 6\alpha +\sin 10\alpha }{512}}$

Формулы преобразования произведения функций

Формулы преобразования произведения функций выводятся из формул сложения аргументов.

Синус и косинус	Тангенс и котангенс
$\sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}$	$\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta ={\frac {\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta }{\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta }}=-{\frac {\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} \beta }{\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} \beta }}$
$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}}$	$\operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta }{\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta }}=-{\frac {\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} \beta }{\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} \beta }}$
$\cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}}$	$\operatorname {tg} \alpha \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta }{\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {tg} \beta }}=-{\frac {\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {ctg} \beta }{\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {tg} \beta }}$

Формулы преобразования суммы функций

Синус и косинус	Тангенс и котангенс
$\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}$	$\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}$
$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$	$\operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}$
$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$	$\operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\cos(\alpha \mp \beta )}{\sin \alpha \cos \beta }}$

Дополнительные тригонометрические формулы

• $\sin {3\alpha }=3\sin {\alpha }-4{\sin ^{3}\alpha }$
• $\cos {3\alpha }=4{\cos ^{3}\alpha }-3{\cos \alpha }$
• $\operatorname {tg} 3\alpha {\frac {3\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}$
• $\sin ^{2}\alpha -\sin ^{2}\beta =\sin(\alpha +\beta )\sin(\alpha -\beta )$;
• $\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta =\sin(\alpha +\beta )\sin(\beta -\alpha )$;
• $\sin ^{2}\alpha -\cos ^{2}\alpha =-\cos(\alpha +\beta )\cos(\alpha -\beta )$;
• $\sin \alpha +\cos \alpha ={\sqrt {2}}\sin(\alpha +{\frac {\pi }{4}})$;
• $\sin \alpha -\cos \alpha ={\sqrt {2}}\sin(\alpha -{\frac {\pi }{4}})$;
• $\sin \alpha +\cos \beta =2\sin {({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\alpha -\beta }{2}})}\cos {({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\alpha +\beta }{2}})}$

Пример

Необходимо упростить выражение:

$\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{2}}\cos \alpha$.

Применяем формулу понижения степени для косинуса и получаем:

${\frac {\cos \alpha +1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos \alpha ={\frac {\cos \alpha +1-\cos \alpha }{2}}={\frac {1}{2}}$.

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Преобразования тригонометрических выражений», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Преобразования_тригонометрических_выражений» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».