Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах

Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах

Задачи подобного рода носят общее название – задачи на оптимиза́цию. В простейших задачах на оптимизацию приходится иметь дело с двумя величинами, одна из которых зависит от другой. Необходимо найти такое значение второй величины, при котором первая принимает своё наименьшее или наибольшее (наилучшее при данных условиях) значение.

Пример практической задачи на производную

Периметр прямоугольного участка земли равен 400 метров. Какую длину должны иметь стороны участка, чтобы его площадь была наибольшей?

Решение:

Обозначим стороны участка $a$ и $b$. Тогда периметр участка:

$P=2(a+b)=400$, откуда получаем:

$a+b=200$ метров.

Выразим $b$ через $a$:

$b=200-a$.

Площадь прямоугольника:

$S=ab=a(200-a)=-a^{2}+200a$.

Приравняем производную выражения для площади прямоугольника к нулю и найдём корни получившегося уравнения:

$S'=-2a+200=0$,

$a=100$ метров.

Тогда $b=200-a=100$ метров.

Ответ: Площадь участка земли будет наибольшей при равенстве его сторон (квадрат). Длина каждой стороны составит 100 метров.

Пример задачи на производную из экономики

Производная используется, в частности, при решении задач на:

• нахождение максимальной прибыли;
• нахождение минимальных затрат на производство;
• распределение ресурсов.

Условие задачи:

На изготовление $x$ единиц товара предприятие тратит:

$f(x)=5x^{2}+300x$ рублей.

Товар реализуется по цене:

$p=10000$ рублей за штуку.

Необходимо определить объём продаж, при котором прибыль будет максимальной.

Решение:

Доход от продажи $x$ единиц товара составит:

$D(x)=10000x$ рублей.

Тогда прибыль составит разницу между полученным доходом и затратами на производство:

$P(x)=D(x)-f(x)=10000x-(5x^{2}+300x)=-5x^{2}+9700x$.

Найдём точку максимума:

$P'(x)=-10x+9700$.

Приравняем производную к нулю и найдём x:

$-10x+9700=0$,

$x=970$.

Ответ: Прибыль будет максимальной при объёме продаж равном 970 единиц товара.

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Примеры_использования_производной_для_нахождения_наилучшего_решения_в_прикладных_задачах» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».