Пространство (многомерная модель)

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пространство (многомерная модель) — наглядная модель многомерного пространства, отображающая свойства пересечений многомерных пространств. Модель раскрывает некоторые необычные стороны многомерных пространств.[1]

[править] Философия многомерного пространства

Любой процесс измерения представляет собой, по сути, внешнее отношение одних измеряемых тел или процессов с другими материальными телами или процессами, выступающими в качестве средств измерения (часы, линейки, любые приборы и т. п.).

Внешний характер пространственных измерений наложил отпечаток на формирование соответствующих естественно-математических понятий. В частности, это выразилось в представлении о трехмерности пространства. Реальные вещи, тела, процессы, с которыми сталкивается человек в практической деятельности, объемны. По существу, объемность (или емкость) и представляет собой реальную пространственную протяженность. Пространство не может быть чем-то иным, нежели совокупностью кубических метров. Однако выражение реального объема именно в кубических метрах (сантиметрах, километрах и т. п.) явилось результатом длительного развития прежде всего хозяйственной, но вместе с ней и научной практики. Потребность в измерении посевных площадей, расстояний, на которые перегонялись стада, совершались перекочевки или уходили охотники, собственно говоря, и привела к тому, что исходной основой пространственных измерений явилась длина и ее абстрактное выражение — линия.

Почему трехмерен объем в геометрии Евклида? Потому что в его основе лежит линия, взятая одномерно; линии образуют двухмерную плоскость, а из плоскостей строится трехмерный объем. Хотя такой путь оптимален и в наибольшей степени удовлетворяет потребности практики, он все же не является единственно возможным. Данные археологии подтверждают, что единицы измерения объема (емкости) исторически являются столь же древними, как и естественные единицы измерения времени и длины (день, месяц, ступня и т. п.). Можно предположить, что если бы практические потребности первобытных людей выдвинули на передний план не измерение площадей и расстояний, а измерение объемов, то развитие геометрической науки могло бы пойти по пути, отличному от проложенного Евклидом. Говорят, к примеру: такая-то комната (пещера, храм, дом, зал и т. д.) больше, чем другая; новый прибор (машина) более компактен и занимает меньше места (меньшее пространство), чем прежняя модель. При всей приблизительности приведенных сравнений реальная пространственная объемность выражена здесь в одном измерении: в отношении «больше — меньше». Если на основе подобных или аналогичных сравнений выработать единицы измерения одномерных объемов и положить их в основу некоторой воображаемой геометрии, то понятие линии в ней могло бы быть совершенно иным: например, выраженным в трех измерениях, скажем как корень третьей степени из единицы одномерного объема. Хотя подобное представление на первый взгляд и кажется вычурным, в действительности в нем нет ничего необычного. Разве при измерении линейкой поверхности стола одномерная линия получается не при помощи операций с двумя объемами (поскольку объемны и линейка, и стол, поверхность которого как сторона реальной объемности подвергается измерению)? Полученная линия и измеренная длина, а также их численные величины и являются результатом определенного сопоставления реальных объемных предметов.

Из сказанного следует, что ни двух-, ни трех-, ни четырехмерность, ни какая-либо другая многомерность не тождественны реальной протяженности, а отображают определенные аспекты тех объективных отношений, в которых она может находиться. Материальный мир — это и мир Евклида, и мир Лобачевского, и мир Римана, и мир Минковского, ибо в понятиях любой из геометрий, связанных с именами этих выдающихся ученых, можно описать и отразить реальную пространственную протяженность как всеобщий атрибут материальной действительности.[2]

Руководствуясь вышеизложенным, построим модель многомерного пространства.

[править] Модель многомерного пространства

Рассмотрим трехмерное пространство. В нем справедлива теорема Пифагора

[math]r^2=x^2+y^2+z^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)[/math]

где [math]r[/math] — расстояние между любыми двумя точками пространства. Известно, что все содержание эвклидовой геометрии можно вывести из соотношения [math](1)[/math]. Действительно, например, в геометрии Декарта теорема Пифагора является аксиомой.

Рассмотрим теперь множество, состоящее из трех точек (рис.[math]1[/math]). Здесь точки являются символами, элементами множества (вместо трех точек можно нарисовать, например, трех крокодилов).

Image1.gif

Поставим в соответствие множеству размерностей [math]3[/math]-мерного пространства множество точек. Тогда [math]3[/math]-мерное пространство соответствует множеству из трех точек, [math]2[/math]-мерное — множеству из двух точек, [math]1[/math]-мерное — множеству из одной точки, [math]0[/math]-мерное — пустому множеству точек.

Рассмотрим пересечения подмножеств точек в множестве из трех точек (рис.[math]2[/math])

Image2.gif

Напомним, что пересечением называется подмножество, принадлежащее обоим пересекающимся подмножествам. На рис.[math]2[/math] пересекаются подмножества, каждое из которых состоит из двух точек. Как видно, подмножества из двух точек могут пересекаться по одной точке. В [math]3[/math]-мерном пространстве это соответствует пересечению двух [math]2[/math]-мерных плоскостей, пересекающихся по [math]1[/math]-мерной прямой.

Рассмотрим рис.[math]3[/math]. Здесь пересечение двух подмножеств из двух точек и одной точки происходит по пустому множеству точек.

Image3.gif

В [math]3[/math]-мерном пространстве это соответствует пересечению [math]1[/math]-мерной прямой и [math]2[/math]-мерной плоскости в [math]0[/math]-мерной точке.

Аналогично можно рассмотреть пересечения в [math]2[/math]-мерном пространстве и [math]1[/math]-мерном пространстве. Соответствие между множеством точек и множеством размерностей будет полное.

Рассмотрим теперь множество из четырех точек, что соответствует [math]4[/math]-мерному пространству (рис.[math]4[/math])

Image4.gif

Как видно, в [math]4[/math]-мерном пространстве две [math]2[/math]-мерные плоскости могут пересекаться по [math]0[/math]-мерной точке, что невозможно сделать в [math]3[/math]-мерном пространстве. Это можно представить наглядно, если спроецировать [math]4[/math]-гранный угол на плоскость аналогично проецированию [math]3[/math]-гранного угла на плоскость и вообразить, что все углы в вершине [math]4[/math]-гранника являются прямыми. В таком [math]4[/math]-граннике любые две противоположные грани (координатные плоскости) пересекаются в одной точке. Никто ведь не удивляется тому, что в [math]3[/math]-мерном пространстве [math]3[/math] координатные плоскости пересекаются в одной [math]0[/math]-мерной точке.

Из рис.[math]2[/math] и рис.[math]3[/math] становится понятно, почему психологически нельзя представить в [math]3[/math]-мерном пространстве пересечение двух плоскостей в одной точке. Мы живем в пространстве [math]3[/math]-х измерений и выйти в [math]4[/math]-ое измерение не можем. Любые комбинации пересечений подпространств в [math]3[/math]-ом пространстве не приведут к пересечению двух плоскостей в одной точке (см. рис.2). Ведь они должны пересечься по пустому множеству точек, что невозможно.

Вообще, если рассмотреть множество из [math]n[/math] точек, что соответствует [math]n[/math]-мерному пространству, то легко обнаружить, что выполняется следующее соотношение

[math]l\ge m+k-n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)[/math]

где [math]l[/math] — подмножество точек в пересечении подмножеств [math]m[/math] и [math]k[/math]; [math]n[/math] — все множество точек.

В теории конечномерных векторных пространств существует аналогичное соотношение

[math]\dim l\ge \dim m+\dim k-\dim n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)[/math]

где dimension — «размерность»; [math]\dim l[/math] — размерность подпространства, получаемого в результате пересечения подпространств [math]m[/math] и [math]k[/math]; [math]\dim n[/math] — размерность объемлющего пространства.[3]

Пусть мы имеем бесконечномерные пространства [math]M[/math] и [math]K[/math]. Тогда в нашей модели их пересечение отобразится подмножеством [math]L[/math] из бесконечного числа точек (рис.[math]5[/math])

Image5-1.gif

то есть сплошной непрерывной областью. Уравнения [math](2)[/math] и [math](3)[/math] будут здесь иметь вид

[math]L\ge M+K-N[/math]

Рассмотрим теперь множество из [math]9[/math] точек, что соответствует [math]9[/math]-мерному пространству (рис.[math]6[/math])

Image6.gif

Если это множество разбить на подмножества по три точки — [math]A[/math], [math]B[/math], [math]C[/math], то нетрудно видеть, что пересечения подмножеств [math]A[/math], [math]B[/math], [math]C[/math] аналогично пересечениям подмножеств из трех точек. В [math]9[/math]-мерном пространстве это означает, что три его [math]3[/math]-мерных подпространства могут пересекаться в одной точке и быть взаимно ортогональными. Таким образом, [math]3[/math]-мерное подпространство в этом случае может играть роль координатной «оси». Здесь обобщается и понятие угла между такими «осями». Тогда то, что соответствует [math]2[/math]-мерным плоскостям в [math]3[/math]-мерном пространстве, здесь будет [math]6[/math]-мерным подпространством.

Мы взяли по три точки в [math]A[/math], [math]B[/math], [math]C[/math] только в качестве примера. Пусть в [math]A[/math], [math]B[/math], [math]C[/math] будет по [math]n[/math] точек. Тогда мы получим аналог [math]3\,n[/math]-мерного пространства. «Куб», например, в таком пространстве может выглядеть следующим образом (рис.[math]7[/math])

Image7.gif

Здесь каждое ребро [math]n[/math]-мерно, каждая грань [math]2\,n[/math]-мерна, сам куб [math]3\,n[/math]-мерен, но точечных вершин будет восемь. Если в качестве «линии» в [math]3\,n[/math]-мерном пространстве взять его [math]n[/math]-мерное подпространство, то мы получим с таким определением обычную [math]3[/math]-мерную геометрию, где каждая точка может быть охарактеризована тремя числами по отношению к [math]n[/math]-мерным координатным «осям». Единственное отличие от [math]3[/math]-мерного пространства будет состоять в том, что «длина» этой «линии» будет измеряться метрами в степени [math]n[/math] (см, км, и т. п.). т.е. [math]m^n[/math]. Теорема Пифагора в этом случае будет иметь вид

[math]r^2_{m^{2n}}=x^2_{m^{2n}}+y^2_{m^{2n}}+z^2_{m^{2n}}[/math]

При таком определении такая «[math]3[/math]-мерная» геометрия формально ничем не будет отличаться от [math]3[/math]-мерной геометрии Евклида со всем ее содержанием.

В принципе [math]n[/math] можно устремить к бесконечности и мы получим «[math]3[/math]-мерную» геометрию с бесконечным числом внутренних степеней свободы. «Точки» в таком пространстве (то есть очень малые области) будут бесконечномерными.

Мы приходим к выводу, что даже если наблюдатели пользуются формализмом [math]3[/math]-мерной геометрии, само пространство может быть в изложенном выше смысле много- и даже бесконечномерным, но дополнительные измерения пространства ненаблюдаемы (например, свёрнуты в кольца с планковским радиусом). На каком уровне проявляется эта многомерность — это уже вопрос физики.

[править] Источники

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты