Пространство (многомерная модель)

Пространство (многомерная модель) — наглядная модель многомерного пространства, отображающая свойства пересечений многомерных пространств. Модель раскрывает некоторые необычные стороны многомерных пространств.

Философия многомерного пространства

Любой процесс измерения представляет собой, по сути, внешнее отношение одних измеряемых тел или процессов с другими материальными телами или процессами, выступающими в качестве средств измерения (часы, линейки, любые приборы и т. п.).

Внешний характер пространственных измерений наложил отпечаток на формирование соответствующих естественно-математических понятий. В частности, это выразилось в представлении о трехмерности пространства. Реальные вещи, тела, процессы, с которыми сталкивается человек в практической деятельности, объемны. По существу, объемность (или емкость) и представляет собой реальную пространственную протяженность. Пространство не может быть чем-то иным, нежели совокупностью кубических метров. Однако выражение реального объема именно в кубических метрах (сантиметрах, километрах и т. п.) явилось результатом длительного развития прежде всего хозяйственной, но вместе с ней и научной практики. Потребность в измерении посевных площадей, расстояний, на которые перегонялись стада, совершались перекочевки или уходили охотники, собственно говоря, и привела к тому, что исходной основой пространственных измерений явилась длина и ее абстрактное выражение — линия.

Почему трехмерен объем в геометрии Евклида? Потому что в его основе лежит линия, взятая одномерно; линии образуют двухмерную плоскость, а из плоскостей строится трехмерный объем. Хотя такой путь оптимален и в наибольшей степени удовлетворяет потребности практики, он все же не является единственно возможным. Данные археологии подтверждают, что единицы измерения объема (емкости) исторически являются столь же древними, как и естественные единицы измерения времени и длины (день, месяц, ступня и т. п.). Можно предположить, что если бы практические потребности первобытных людей выдвинули на передний план не измерение площадей и расстояний, а измерение объемов, то развитие геометрической науки могло бы пойти по пути, отличному от проложенного Евклидом. Говорят, к примеру: такая-то комната (пещера, храм, дом, зал и т. д.) больше, чем другая; новый прибор (машина) более компактен и занимает меньше места (меньшее пространство), чем прежняя модель. При всей приблизительности приведенных сравнений реальная пространственная объемность выражена здесь в одном измерении: в отношении «больше — меньше». Если на основе подобных или аналогичных сравнений выработать единицы измерения одномерных объемов и положить их в основу некоторой воображаемой геометрии, то понятие линии в ней могло бы быть совершенно иным: например, выраженным в трех измерениях, скажем как корень третьей степени из единицы одномерного объема. Хотя подобное представление на первый взгляд и кажется вычурным, в действительности в нем нет ничего необычного. Разве при измерении линейкой поверхности стола одномерная линия получается не при помощи операций с двумя объемами (поскольку объемны и линейка, и стол, поверхность которого как сторона реальной объемности подвергается измерению)? Полученная линия и измеренная длина, а также их численные величины и являются результатом определенного сопоставления реальных объемных предметов.

Из сказанного следует, что ни двух-, ни трех-, ни четырехмерность, ни какая-либо другая многомерность не тождественны реальной протяженности, а отображают определенные аспекты тех объективных отношений, в которых она может находиться. Материальный мир — это и мир Евклида, и мир Лобачевского, и мир Римана, и мир Минковского, ибо в понятиях любой из геометрий, связанных с именами этих выдающихся ученых, можно описать и отразить реальную пространственную протяженность как всеобщий атрибут материальной действительности.

Руководствуясь вышеизложенным, построим модель многомерного пространства.

Модель многомерного пространства

Рассмотрим трехмерное пространство. В нем справедлива теорема Пифагора

[math]r^2=x^2+y^2+z^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)[/math]

где [math]r[/math] — расстояние между любыми двумя точками пространства. Известно, что все содержание эвклидовой геометрии можно вывести из соотношения [math](1)[/math]. Действительно, например, в геометрии Декарта теорема Пифагора является аксиомой.

Рассмотрим теперь множество, состоящее из трех точек (рис.[math]1[/math]). Здесь точки являются символами, элементами множества (вместо трех точек можно нарисовать, например, трех крокодилов).

Поставим в соответствие множеству размерностей [math]3[/math]-мерного пространства множество точек. Тогда [math]3[/math]-мерное пространство соответствует множеству из трех точек, [math]2[/math]-мерное — множеству из двух точек, [math]1[/math]-мерное — множеству из одной точки, [math]0[/math]-мерное — пустому множеству точек.

Рассмотрим пересечения подмножеств точек в множестве из трех точек (рис.[math]2[/math])

Напомним, что пересечением называется подмножество, принадлежащее обоим пересекающимся подмножествам. На рис.[math]2[/math] пересекаются подмножества, каждое из которых состоит из двух точек. Как видно, подмножества из двух точек могут пересекаться по одной точке. В [math]3[/math]-мерном пространстве это соответствует пересечению двух [math]2[/math]-мерных плоскостей, пересекающихся по [math]1[/math]-мерной прямой.

Рассмотрим рис.[math]3[/math]. Здесь пересечение двух подмножеств из двух точек и одной точки происходит по пустому множеству точек.

В [math]3[/math]-мерном пространстве это соответствует пересечению [math]1[/math]-мерной прямой и [math]2[/math]-мерной плоскости в [math]0[/math]-мерной точке.

Аналогично можно рассмотреть пересечения в [math]2[/math]-мерном пространстве и [math]1[/math]-мерном пространстве. Соответствие между множеством точек и множеством размерностей будет полное.

Рассмотрим теперь множество из четырех точек, что соответствует [math]4[/math]-мерному пространству (рис.[math]4[/math])

Как видно, в [math]4[/math]-мерном пространстве две [math]2[/math]-мерные плоскости могут пересекаться по [math]0[/math]-мерной точке, что невозможно сделать в [math]3[/math]-мерном пространстве. Это можно представить наглядно, если спроецировать [math]4[/math]-гранный угол на плоскость аналогично проецированию [math]3[/math]-гранного угла на плоскость и вообразить, что все углы в вершине [math]4[/math]-гранника являются прямыми. В таком [math]4[/math]-граннике любые две противоположные грани (координатные плоскости) пересекаются в одной точке. Никто ведь не удивляется тому, что в [math]3[/math]-мерном пространстве [math]3[/math] координатные плоскости пересекаются в одной [math]0[/math]-мерной точке.

Из рис.[math]2[/math] и рис.[math]3[/math] становится понятно, почему психологически нельзя представить в [math]3[/math]-мерном пространстве пересечение двух плоскостей в одной точке. Мы живем в пространстве [math]3[/math]-х измерений и выйти в [math]4[/math]-ое измерение не можем. Любые комбинации пересечений подпространств в [math]3[/math]-ом пространстве не приведут к пересечению двух плоскостей в одной точке (см. рис.2). Ведь они должны пересечься по пустому множеству точек, что невозможно.

Вообще, если рассмотреть множество из [math]n[/math] точек, что соответствует [math]n[/math]-мерному пространству, то легко обнаружить, что выполняется следующее соотношение

[math]l\ge m+k-n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)[/math]

где [math]l[/math] — подмножество точек в пересечении подмножеств [math]m[/math] и [math]k[/math]; [math]n[/math] — все множество точек.

В теории конечномерных векторных пространств существует аналогичное соотношение

[math]\dim l\ge \dim m+\dim k-\dim n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)[/math]

где dimension — «размерность»; [math]\dim l[/math] — размерность подпространства, получаемого в результате пересечения подпространств [math]m[/math] и [math]k[/math]; [math]\dim n[/math] — размерность объемлющего пространства.

Пусть мы имеем бесконечномерные пространства [math]M[/math] и [math]K[/math]. Тогда в нашей модели их пересечение отобразится подмножеством [math]L[/math] из бесконечного числа точек (рис.[math]5[/math])

то есть сплошной непрерывной областью. Уравнения [math](2)[/math] и [math](3)[/math] будут здесь иметь вид

[math]L\ge M+K-N[/math]

Рассмотрим теперь множество из [math]9[/math] точек, что соответствует [math]9[/math]-мерному пространству (рис.[math]6[/math])

Если это множество разбить на подмножества по три точки — [math]A[/math], [math]B[/math], [math]C[/math], то нетрудно видеть, что пересечения подмножеств [math]A[/math], [math]B[/math], [math]C[/math] аналогично пересечениям подмножеств из трех точек. В [math]9[/math]-мерном пространстве это означает, что три его [math]3[/math]-мерных подпространства могут пересекаться в одной точке и быть взаимно ортогональными. Таким образом, [math]3[/math]-мерное подпространство в этом случае может играть роль координатной «оси». Здесь обобщается и понятие угла между такими «осями». Тогда то, что соответствует [math]2[/math]-мерным плоскостям в [math]3[/math]-мерном пространстве, здесь будет [math]6[/math]-мерным подпространством.

Мы взяли по три точки в [math]A[/math], [math]B[/math], [math]C[/math] только в качестве примера. Пусть в [math]A[/math], [math]B[/math], [math]C[/math] будет по [math]n[/math] точек. Тогда мы получим аналог [math]3\,n[/math]-мерного пространства. «Куб», например, в таком пространстве может выглядеть следующим образом (рис.[math]7[/math])

Здесь каждое ребро [math]n[/math]-мерно, каждая грань [math]2\,n[/math]-мерна, сам куб [math]3\,n[/math]-мерен, но точечных вершин будет восемь. Если в качестве «линии» в [math]3\,n[/math]-мерном пространстве взять его [math]n[/math]-мерное подпространство, то мы получим с таким определением обычную [math]3[/math]-мерную геометрию, где каждая точка может быть охарактеризована тремя числами по отношению к [math]n[/math]-мерным координатным «осям». Единственное отличие от [math]3[/math]-мерного пространства будет состоять в том, что «длина» этой «линии» будет измеряться метрами в степени [math]n[/math] (см, км, и т. п.). т.е. [math]m^n[/math]. Теорема Пифагора в этом случае будет иметь вид

[math]r^2_{m^{2n}}=x^2_{m^{2n}}+y^2_{m^{2n}}+z^2_{m^{2n}}[/math]

При таком определении такая «[math]3[/math]-мерная» геометрия формально ничем не будет отличаться от [math]3[/math]-мерной геометрии Евклида со всем ее содержанием.

В принципе [math]n[/math] можно устремить к бесконечности и мы получим «[math]3[/math]-мерную» геометрию с бесконечным числом внутренних степеней свободы. «Точки» в таком пространстве (то есть очень малые области) будут бесконечномерными.

Мы приходим к выводу, что даже если наблюдатели пользуются формализмом [math]3[/math]-мерной геометрии, само пространство может быть в изложенном выше смысле много- и даже бесконечномерным, но дополнительные измерения пространства ненаблюдаемы (например, свёрнуты в кольца с планковским радиусом). На каком уровне проявляется эта многомерность — это уже вопрос физики.