Псематический парадокс

Парадокс псематический (др.-греч. ψέματα «ложь»), Парадокс Павленко А.Н — семантический самодескриптивный парадокс, обнаруженный в 2018 году русским философом Павленко Андреем Николаевичем.

Похож на ряд аналогичных парадоксов, таких как гетерологический парадокс Греллинга — Нельсона.

Описание

Название парадокса «псематический» производно от греческого слова ψέματα (ложь). Парадокс возникает из анализа утверждений Фреге о том, что:

Это связано с моим учением об истинности и ложности, согласно которому все истинные предложения означают одно и то же, а именно, истинность, а все ложные предложения тоже означают одно и то же: ложность.

 — Готлоб Фреге

И в другой работе:

Всякое повествовательное предложение, в зависимости от значения составляющих его слов, может, таким образом, рассматриваться как имя, значением которого, если, конечно, оно имеется, будет либо истина, либо ложь. Оба этих абстрактных предмета признаются, хотя бы молчаливо, всеми, кто вообще выносит какие-либо суждения или считает хотя бы что-нибудь истинным, то есть даже скептиком.

 — Готлоб Фреге

Т.е. Фреге полагал, что "истина" и "ложь" -​ это две самостоятельно существующих области объектов. Если суммировать и выразить эту мысль Фреге лаконичнее, то, пользуясь его же терминологией, у нас получатся два суждения:

1. Всякое истинное предложение обозначает истину,
2. Всякое ложное предложение обозначает ложь.

Далее, для демонстрации возникающего затруднения, рассмотрим два вида предложений. Условимся «ложные предложения», как это принято в логике и аналитической философии, понимать как отрицание «истинных предложений», обозначив «истинное предложение» символом $p$, а ложное предложение – отрицанием символа, обозначающего истинные предложения $\neg p$:

1. «Истинное предложение», в смысле Фреге – это предложение, которое само обладают тем признаком (“быть истинным”), которое оно обозначает как объект. Другими словами, утверждение «Всякое истинное предложение обозначает истину» само не может не быть истинным.
2. «Ложное предложение» – это не истинное предложение, то есть $\neg p$.

После этого придадим этим определениям более полную форму. Суждение:

«Всякое истинное предложение ($p$) обладает признаком “быть истинным” ($X$)»

- это предложения, в которых некоторый термин $p$ («истинные предложения») сам обладает тем признаком $X$ («быть истинным»), который оно обозначает в качестве объекта.

Соответственно, согласно определению ложных предложений, получается, что суждение: «Всякое ложное предложение обозначает ложь» будет выглядеть следующим образом:

«Всякое не истинное (ложное) предложение ($\neg p$) обладает признаком “быть ложным” ($Y$)»

Другими словами: всё, чему присуща истина – истинно. Это отчетливо видно в случае тезиса Фреге.

Истинное предложение

Теперь зададим первый вопрос:

Вопрос α: Может ли «Всякое истинные предложение, обозначающее истину», быть истинным?

Ответ однозначен:

да, может.

Истинное предложение потому и является истинным, что обладает тем признаком, которым и обладает обозначаемый им объект - «быть истинным».

Ложное предложение

Теперь зададим следующий вопрос:

Вопрос β: Может ли суждение «Всякое ложное предложение, обозначающее ложь» быть ложным?

Для ответа на него, условимся понимать под:

• «Всякое ложное предложение обозначает ложь» (закавыченное утверждение Фреге) - только имя того ложного предложения, которое обозначает ложь.
• Всякое ложное предложение обозначает ложь (НЕ закавыченное утверждение Фреге) - тот объект, о котором судит предложение-имя (закавыченное).

Сделав это, придадим нашему выражению более строгий вид в соответствии с определением ложного предложения («“Ложное предложение” – это не истинное предложение, то есть $\neg p$»):

Предложение «Всякое ложное предложение обозначает ложь» обозначает всякое ложное предложение, обозначающее ложь, если и только если, «Всякое ложное предложение обозначающее ложь» не является предложением, обозначающим истину

Теперь подставим вместо выражения «обозначающим истину» определение предложения, обозначающего истину. В результате получим:

Предложение «Всякое ложное предложение обозначает ложь» обозначает всякое ложное предложение, обозначающее ложь, если и только если, «Всякое ложное предложение, обозначающее ложь» не является всяким истинным предложением, обозначающим истину

В итоге получается следующее:

1. Eсли «Всякое ложное предложение обозначающее ложь» само не является всяким истинным предложением обозначающим истину, то оно, по определению «Всякого ложного предложения, обозначающего ложь» – не является обозначающим ложь.
2. Если «Всякое ложное предложение обозначающее ложь» само является всяким истинным предложением, обозначающим истину, то, следовательно, оно является «Всяким ложным предложением обозначающим ложь» - и является обозначающим ложь.

В любом случае получается, что суждение «Ложные предложения обозначают ложь», одновременно и обладают тем признаком, который они обозначают, и не обладают им.

Парадокс

В результате, мы приходим к парадоксу:

Ложные суждения одновременно и обладают признаком «быть ложным (не истинным)» ($\neg p$) и не облают им ($\neg \neg p$)»

Или, учитывая, что ($\neg \neg p\equiv p$) в формальном выражении:

$\neg p\longleftrightarrow p$

Мы видим, что к этому затруднению привел ответ на Вопрос β. Этот парадокс наводит на мысль о том, что ложные суждения, рассмотренные не просто как человеческие высказывания, а именно онтологически (как объекты Фреге) - являются фантомами (др.-греч. φάντασμα «призрак»).

Вывод

У ложных суждений нет никакой референции, они ни на что не указывают. Но, тем самым, мир ложных предложений отграничивает мир предложений истинных, которые, в рассмотренном выше случае, сами обладают признаком того объекта, на который они указывают. Или совсем кратко: невозможно согласиться с Фреге в этом вопросе - такого объекта как «ложь» попросту не существует. Парадокс, по мнению его автора, является косвенным аргументом в защиту существования мира непротиворечивых (в этом смысле - идеально истинных объектов), которые и составляют мир «Прописи» (онтологической). Псематический парадокс прямо и недвусмысленно указывает на оправданность тезиса о дефляции лжи.

Схожесть с парадоксом Нельсона-Греллинга

Можно сказать, что «Истинные предложения» в смысле Фреге, являются автологическими, а «Ложные предложения» - гетерологическими.

См. также

• Список парадоксов

Литература

• Pavlenko, A.N. The epistemological glaucoma and psematical paradox (autological feature of truth and heterological feature of false). (англ.) // Вестник РУДН : журнал. — М.: 2018. — Vol. 22. — № 2. — С. 158 – 167.
• Павленко А. Н. Глаукома эпистемологическая и псематический парадокс (автологичность истины и гетерологичность лжи) // Theoria vs observatio: возвращение из обморока. — СПб.: Алетейя, 2018. — С. 91-105.
• Фреге Г. Смысл и значение//Избранные работы. — М.: Дом интеллектуальной книги, 1997. — 160 с.
• Фреге Г. Логика и логическая семантика//Сборник трудов / перевод Бирюкова Б.В., под ред. Кузичевой З.А.. — М.: АСПЕКТ ПРЕСС, 2000. — 512 с.