Системы линейных неравенств

Систе́мой нера́венств называется несколько неравенств, для которых требуется найти множество всех решений, являющихся одновременно решениями каждого неравенства системы.

Систе́мой лине́йных нера́венств называется любая совокупность двух или более линейных неравенств, содержащих одну и ту же неизвестную величину.

Примеры

Если одно и то же неизвестное входит более чем в одно неравенство, надо решить каждое неравенство по отдельности и затем сопоставить эти решения, которые должны выполняться все вместе.

Пример 1: Решим систему двух неравенств с одной неизвестной.

Файл:Решение системы неравенств с одной неизвестной.jpg

Графическое представление решения системы

${\begin{cases}2\cdot x-1>6\\5-3\cdot x>-13\\\end{cases}}$;

${\begin{cases}2\cdot x>7\\-3\cdot x>-18\\\end{cases}}$;

${\begin{cases}x>3,5\\x<6\\\end{cases}}$.

Пример 2: Решим систему двух неравенств с двумя неизвестными.

${\begin{cases}x^{2}+y^{2}\leqslant 49\\2x+y>5\\\end{cases}}$;

Пример 2: Решим систему двух неравенств с двумя неизвестными.

${\begin{cases}x^{2}+y^{2}\leqslant 49\\2x+y>5\\\end{cases}}$;

Построим графики функций, соответствующих данным неравенствам:

$x^{2}+y^{2}\leqslant 49$ — окружность с радиусом 7,

$2x+y>5$ — прямая.

Изображаем график окружности пунктирной линией, так как он соответствует нестрогому неравенству, а график прямой — сплошной линией.

Файл:График окружности радиусом 7.jpg

Графики окружности и прямой

Возмём точку (0;0) внутри графика окружности и ниже графика прямой.

Первое неравенство $x^{2}+y^{2}\leqslant 49$ обращается в верное ($0<49$), следовательно его область его решений лежит внутри графика окружности.

Выражение, в которое обращается второе неравенство $2x+y>5$, неверно ($0>5$), следовательно область его решений лежит выше графика прямой и включает саму прямую.

Файл:Область решений системы неравенств с двумя переменными.jpg

Решением системы неравенств является пересечение полученных областей на координатной плоскости

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Системы линейных неравенств», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Системы_линейных_неравенств» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».