Системы линейных неравенств

Системой неравенств называется несколько неравенств, для которых требуется найти множество всех решений, являющихся одновременно решениями каждого неравенства системы.

Системой линейных неравенств называется любая совокупность двух или более линейных неравенств, содержащих одну и ту же неизвестную величину.

Линейные неравенства могут быть строгими — это определяется знаком неравенства: <, >. Линейные неравенства называются нестрогими, если в них имеется следующий знак неравенства: ≥, ≤.

При рассмотрении линейных уравнений на плоскости можно начертить прямую. Решением такого уравнения будет точка пересечения прямой с осью ОХ.

Когда речь заходит о линейных неравенствах, это значит, что на плоскости существует некоторое решение, которое находится в некотором диапазоне относительно построенной прямой. При рассмотрении систем двух линейных неравенств на плоскости возникают две прямые, ограничивающие некоторый диапазон, в котором находятся все решения, удовлетворяющие неравенства.

Две системы неравенств называют равносильными, если они имеют общее множество решений, удовлетворяющих этим неравенствам. Равносильность систем неравенств (как и уравнений) обозначается «⇔».

Примеры

Если одно и то же неизвестное входит более чем в одно неравенство, надо решить каждое неравенство по отдельности и затем сопоставить эти решения, которые должны выполняться все вместе.

Пример 1: Решим систему двух неравенств с одной неизвестной.

Графическое представление решения системы

${\begin{cases}2\cdot x-1>6\\5-3\cdot x>-13\\\end{cases}}$;

${\begin{cases}2\cdot x>7\\-3\cdot x>-18\\\end{cases}}$;

${\begin{cases}x>3,5\\x<6\\\end{cases}}$.

Пример 2: Решим систему двух неравенств с двумя неизвестными.

${\begin{cases}x^{2}+y^{2}\leqslant 49\\2x+y>5\\\end{cases}}$;

Пример 2: Решим систему двух неравенств с двумя неизвестными.

${\begin{cases}x^{2}+y^{2}\leqslant 49\\2x+y>5\\\end{cases}}$;

Построим графики функций, соответствующих данным неравенствам:

$x^{2}+y^{2}\leqslant 49$ — окружность с радиусом 7,

$2x+y>5$ — прямая.

Изображаем график окружности пунктирной линией, так как он соответствует нестрогому неравенству, а график прямой — сплошной линией.

Графики окружности и прямой

Возмём точку (0;0) внутри графика окружности и ниже графика прямой.

Первое неравенство $x^{2}+y^{2}\leqslant 49$ обращается в верное ($0<49$), следовательно его область его решений лежит внутри графика окружности.

Выражение, в которое обращается второе неравенство $2x+y>5$, неверно ($0>5$), следовательно область его решений лежит выше графика прямой и включает саму прямую.

Решением системы неравенств является пересечение полученных областей на координатной плоскости

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Системы линейных неравенств», расположенная по адресу: — https://ru.ruwiki.ru/wiki/Системы_линейных_неравенств Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».