Треугольники Савина

Треугольники Савина — это специальные треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ в исходном произвольном треугольнике АВС. Первый треугольник Савина определён вершинами с барицентрическими координатами A₁ = a : p — a : p — a, B₁ = p — b : b : p — b, C₁ = p — c : p — c : c, где a = BC, b = CA, c = AB длины сторон треугольника АВС, а p — его полупериметр. Второй треугольник Савина с вершинами A₂ = a : p + a : p + a, B₂ = p + b : b : p + b, C₂ = p + c : p + c : c. Открыты Андреем Савиным в 2021 году и представлены в разделе о специальных треугольниках (Index of Triangles, см. 1st & 2nd Savin) энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга. Описание приводится на странице энциклопедии PART 23, см. преамбулу X(44301)-X(44308).

Рис. 1. Вершина A₁ первого треугольника Савина (выделена синим)

Рис. 2. Первый треугольник Савина (выделен синим)

История

В конце 1990-х годов проводились исследования на кафедре начертательной геометрии и черчения Ростовского государственного строительного университета, которые привели к такому открытию: в произвольном треугольнике АВС пусть A_Ge, B_Ge, C_Ge являются основаниями перпендикуляров, опущенных из инцентра I на стороны BC, CA, AB соответственно (они же точки касания вписанной в треугольник окружности с его сторонами или вершины треугольника касаний), тогда медиана AA_M, прямая IА_Ge и отрезок B_GeC_Ge пересекаются в одной точке A₁ (см. рисунок 1). Оказывается, таких точек в исходном треугольнике три: A₁, B₁ (BB_M ∩ IB_Ge ∩ C_GeA_Ge), C₁ (CC_M ∩ IC_Ge ∩ A_GeB_Ge) и они образуют специальный треугольник A₁B₁C₁ (см. рисунок 2).

Точка пересечения медиан (центроид) M треугольника АВС является перспектором первого и второго треугольников Савина, а также следующих треугольников: исходного АВС, серединного треугольника, антисерединного треугольника и др.

Построение второго треугольника Савина

В энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга представлены точки: Х(9) под названием «Mittenpunkt», изогонально сопряженная ей точка Х(57), гармонически сопряженная с Х(57) относительно центроида M и Х(9) точка Х(7308). Точка Х(7308) является перспектором A₂B₂C₂ и вневписанного треугольника I_aI_bI_c (см. рисунок 3). Точка Х(44304) — перспектор второго треугольника Савина и второго треугольника Шарыгина.

Рис. 3. Второй треугольник Савина (выделен синим)

Литература

В 2025 году вышла книга Андрея Савина "1200 особенных точек треугольника" (издательство "Триумф"), в которой были представлены данные треугольники. Книга опубликована в электронном виде[1].