Уравнение касательной к графику функции

Касательная к графику функции

Если некоторая прямая проходит через точку с координатами $(x_{0};f(x_{0}))$ , а угол наклона данной прямой равен производной функции в данной точке, то такую прямую называют касательной к графику.

Если не существует производной графика в данной точке, то и не может существовать касательной, или же данная касательная перпендикулярна к оси $OX$ . Второй случай можно наблюдать в результате проведения касательной для графика функции арксинуса.

Для задания любой прямой необходимо воспользоваться формулой $y=kx+b$ .

Коэффициент $k$ показывает, под каким углом будет располагаться прямая относительно оси $OX$ . Если данный коэффициент больше нуля, то угол наклона между касательной и осью $OX$ острый, если же коэффициент отрицательный, то угол между осью $OX$ и касательной тупой.

Угловой коэффициент — это производная функции в некоторой точке $x_{0}$ .

Чтобы задать уравнение касательной, необходимо воспользоваться формулой:

$y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\in \mathbb {R}$ .

Если функция $f$ имеет в точке $x_{0}$ бесконечную производную $f'(x_{0})=\pm \infty ,$ то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением:

$x=x_{0}.$

Отсюда следует, что для нахождения коэффициента $k$ , необходимо найти производную в рассматриваемой точке.

Пример

Найдём уравнение прямой для функции $y=x^{3}$ в точке $x_{0}=3$ .

1. Находим производную данной функции: $y'=3x^{2}$ .

2. Как уже было сказано, коэффициент — это производная функции в некоторой точке, поэтому: $y'(3)=3\cdot 3^{2}=27.$

3. Как видно из уравнения касательной, также необходимо найти и значение функции в рассматриваемой точке $f(x_{0})$ : $f(3)=3^{3}=27.$ ^[1]

4. Теперь составим уравнение касательной по заданной формуле: $y=27(x-3)+27.$

Чтобы получить конечное уравнение, необходимо сделать некоторые преобразования: $y=27(x-3)+27=27x-81+27=27x-54.$

Таким образом, искомое уравнение касательной: $y=27x-54.$

Примечания[править]

↑ Совершенно случайно получилось так, что значение производной в точке совпало со значением функции в заданной точке. Обратите внимание, что это просто совпадения и НЕ обязательно $y'=f(x_{0})$ .

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Уравнение касательной к графику функции», расположенная по адресу:

—	«https://ru.ruwiki.ru/wiki/Уравнение_касательной_к_графику_функции»

Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий.

Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».

[1] Совершенно случайно получилось так, что значение производной в точке совпало со значением функции в заданной точке. Обратите внимание, что это просто совпадения и НЕ обязательно $y'=f(x_{0})$ .

[1]

Уравнение касательной к графику функции

Примечания[править]

Навигация

Поиск