Цепи Александрова
Цепи Александрова — последовательности целых положительных чисел, при помощи которых можно построить идеальный магический квадрат любого допустимого порядка n. Найдены три такие последовательности:
ЦА-1(для нечетных n, кратных 3): 1 n 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 13 10 14 18 15 17 19 16 20 24 21 23 25 22 26 …
ЦА-2 (для n=8k, например n=24): 1 24 14 16 18 20 22 21 19 17 15 13 23 2 12 10 8 6 4 3 5 7 9 11
ЦА-3 (для n=8k+4, например n=28): 1 28 15 19 20 24 23 26 25 21 22 18 17 13 27 2 16 12 11 7 8 4 3 6 5 9 10 14
Общие выражения для цепей Александрова приведены в работах [1], [2]
Если же нечетное n не кратно трем, то цепь Александрова имеет простой вид:
1 n n-1 n-2 … 2
Чтобы получить идеальный магический квадрат, достаточно из цепи Александрова сформировать по определенным правилам латинские квадраты i и j. Объединение последних по формуле n*(i-1)+j даст решение задачи [3].
Пример для n = 9. Цепь Александрова: 1 9 3 6 2 5 8 4 7.
Латинский квадрат i :
| 1 | 9 | 3 | 6 | 2 | 5 | 8 | 4 | 7 |
| 4 | 7 | 1 | 9 | 3 | 6 | 2 | 5 | 8 |
| 5 | 8 | 4 | 7 | 1 | 9 | 3 | 6 | 2 |
| 6 | 2 | 5 | 8 | 4 | 7 | 1 | 9 | 3 |
| 9 | 3 | 6 | 2 | 5 | 8 | 4 | 7 | 1 |
| 7 | 1 | 9 | 3 | 6 | 2 | 5 | 8 | 4 |
| 8 | 4 | 7 | 1 | 9 | 3 | 6 | 2 | 5 |
| 2 | 5 | 8 | 4 | 7 | 1 | 9 | 3 | 6 |
| 3 | 6 | 2 | 5 | 8 | 4 | 7 | 1 | 9 |
Латинский квадрат j :
| 1 | 3 | 2 | 8 | 7 | 9 | 6 | 5 | 4 |
| 8 | 7 | 9 | 6 | 5 | 4 | 1 | 3 | 2 |
| 6 | 5 | 4 | 1 | 3 | 2 | 8 | 7 | 9 |
| 1 | 3 | 2 | 8 | 7 | 9 | 6 | 5 | 4 |
| 8 | 7 | 9 | 6 | 5 | 4 | 1 | 3 | 2 |
| 6 | 5 | 4 | 1 | 3 | 2 | 8 | 7 | 9 |
| 1 | 3 | 2 | 8 | 7 | 9 | 6 | 5 | 4 |
| 8 | 7 | 9 | 6 | 5 | 4 | 1 | 3 | 2 |
| 6 | 5 | 4 | 1 | 3 | 2 | 8 | 7 | 9 |
Объединение матриц i и j дает идеальный магический квадрат 9х9 :
| 1 | 75 | 20 | 53 | 16 | 45 | 69 | 32 | 58 |
| 35 | 61 | 9 | 78 | 23 | 49 | 10 | 39 | 65 |
| 42 | 68 | 31 | 55 | 3 | 74 | 26 | 52 | 18 |
| 46 | 12 | 38 | 71 | 34 | 63 | 6 | 77 | 22 |
| 80 | 25 | 54 | 15 | 41 | 67 | 28 | 57 | 2 |
| 60 | 5 | 76 | 19 | 48 | 11 | 44 | 70 | 36 |
| 64 | 30 | 56 | 8 | 79 | 27 | 51 | 14 | 40 |
| 17 | 43 | 72 | 33 | 59 | 4 | 73 | 21 | 47 |
| 24 | 50 | 13 | 37 | 66 | 29 | 62 | 7 | 81 |
Все цепи Александрова при n<30 :
1 5 4 3 2
1 7 6 5 4 3 2
1 8 6 5 7 2 4 3
1 9 3 6 2 5 8 4 7
1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
1 12 7 10 9 5 11 2 8 4 3 6
1 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
1 15 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 14 10 13
1 16 10 12 14 13 11 9 15 2 8 6 4 3 5 7
1 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
1 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
1 20 11 16 15 18 17 13 14 9 19 2 12 7 8 4 3 6 5 10
1 21 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 13 10 14 18 15 17 20 16 19
1 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
1 24 14 16 18 20 22 21 19 17 15 13 23 2 12 10 8 6 4 3 5 7 9 11
1 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
1 27 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 13 10 14 18 15 17 19 16 20 24 21 23 26 22 25
1 28 15 19 20 24 23 26 25 21 22 18 17 13 27 2 16 12 11 7 8 4 3 6 5 9 10 14
1 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2