Циклоидальный маятник

Циклоида́льный ма́ятник — изохронный маятник, период колебаний которого не зависит от величины амплитуды.

История

Циклотронный маятник изобретён Х. Гюйгенсом, описавшим принципы работы и практические устройства на его основе в своём труде Horologivm Oscillatorivn. В этой работе он представил часовой механизм, измеряющий время с помощью циклотронного маятника (см. рисунок).

Физические основы

Файл:Horologium oscillatorium.jpg

Часы Гюйгенса с циклоидальным маятником

Особенностью циклотронного маятника является то, что материальная точка (подвес) движется по циклоиде, а не по дуге окружности. В этом случае изохронность маятника объясняется свойствами циклоиды.

Циклоиду можно представить, наблюдая за движением точки на колесе (диске), расположенной в месте соприкосновения колеса (диска) и поверхности, по которой он двигается, при качении по горизонтальной поверхности с постоянной угловой скоростью. Траекторией движения такой точки будет кривая, называемая циклоидой. Максимальная амплитуда циклоиды будет равна диаметру колеса (диска), а цикл (период) определяться углом качения $\varphi$, изменяющимся от $0$ до $2\pi$. При дальнейшем движении колеса (диска) с той же скоростью достигается идеальная изохронность движения материальной точки на колесе.

Математически циклоиду можно задать с помощью системы уравнений:

${\begin{cases}x=A(\varphi -\sin \varphi )\\y=A(\varphi -\cos \varphi )\\\end{cases}}$,

где $A$ — радиус колеса, $\varphi$ — угол качения, или угол, на который повернулось колесо (диск) от своего исходного положения.

Однако, в случае маятника необходимо, чтобы циклоида была обращена остриями вверх, для чего производится вычитание координаты $y$ из $2A$:

${\begin{cases}x=A(\varphi -\sin \varphi )\\y=A(1+\cos \varphi )\\\end{cases}}$.

Поскольку

$mv=-mg{\frac {dy}{ds}}$,

то, дифференцируя нашу систему уравнений, получим уравнение движения циклоидального маятника:

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\cos {\Biggl (}{\frac {\varphi }{2}}{\Biggl )}=-{\frac {G}{4A}}\cos {\Biggl (}{\frac {\varphi }{2}}{\Biggl )}$.

Сравнивая это уравнение с линейным уравнением математического маятника:

${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+\omega ^{2}\varphi =0$

видно, что в случае циклоидального маятника функцией является не величина угла $\varphi$, а $\cos {\Biggl (}{\frac {\varphi }{2}}{\Biggl )}$.

Интегрируя, получим известное выражение для периода колебаний:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {4A}{G}}}$.

Существенным отличием от аналогичного выражения для математического маятника является то, что это выражение является точным решением, а не приближённым, и справедливо для любых амплитуд (а не малых, как в приближённом случае математического маятника). Из этого следует, что циклоидальный маятник строго изохронен, и его период никак не зависит от величины амплитуды.

Гюйгенс использовал это свойство для создания точных часов, используя теорему о движении по циклоиде без трения: «Эволюта циклоиды является также циклоидой, тождественной с исходной».

Применение

Практического применения в часах циклоидальный маятник не нашёл применения, поскольку для обеспечения необходимой точности достаточно использовать обычный маятник, добиваясь нужной степени синхронизма регулированием длины маятника, массы подвеса и упругого тела (короткой пружины или металлической пластинки), что используется в маятниковых часах.

Литература

• Лурье А. И. Аналитическая механика. — Москва : Физматлит, 1961.
• Арнольд В. И.. Математические методы классической механики. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1989. — 472 с.
• Зоммерфельд А. Механика. — Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
• Ландау Л. Д. Курс общей физики : механика и молекулярная физика. — Москва : Добросвет : Издательство КДУ, 2011.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. — Москва : Физматлит, 2014.
• Савельев И. В. Курс общей физики. В 5 томах. Том 1. Механика — Москва : Лань, 2022.

Ссылки

• Маятник

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Циклоидальный маятник», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Циклоидальный_маятник» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».