Циклопедия:Списки:Математические операторы

 → Математический оператор

Данный список содержит математические преобразования, кроме интегральных преобразований.

Выражение	Задание кривой	Переменные	Описание
Линейные преобразования
$L[y]=y^{(n)}\$			Производная n-го порядка
$L[y]=\int \limits _{a}^{t}\limits \!y\,dt$	Декартовы координаты	$y=y(t)$ $x=t$	Интеграл, площадь
$L[y]=y\circ f$			Оператор композиции
$L[y]={\frac {y\circ t+y\circ -t}{2}}$			Четная часть
$L[y]={\frac {y\circ t-y\circ -t}{2}}$			Нечетная часть
$L[y]=-(py')'+qy$			Оператор Штурма-Лиувилля
Нелинейные преобразования
$F[y]=y^{-1}=\operatorname {inv} \,y$			Обратная функция
$F[y]=t\,\operatorname {inv} \,y'-y\circ \operatorname {inv} \,y'$			Преобразование Лежандра
$F[y]=f\circ y$			Левая композиция
$F[y]={\frac {y'}{y}}$			Логарифмическая производная
$F[y]=\int \limits _{a}^{t}\limits \!|y'|\,dt$			Полная вариация
$F[y]={\frac {1}{t-a}}\int \limits _{a}^{t}\limits \!y\,dt$			Среднее значение
$F[y]=\exp \left({\frac {1}{t-a}}\int \limits _{a}^{t}\limits \!\ln y\,dt\right)$			Среднее геометрическое
$F[y]=-{\frac {y}{y'}}$	Декартовы координаты	$y=y(x)$ $x=t$	Подкасательная
$F[x,y]=-{\frac {yx'}{y'}}$	Параметрическое, декартовы координаты	$x=x(t)$ $y=y(t)$
$F[y]=-{\frac {y^{2}}{y'}}$	Полярные координаты	$y=r(\phi )$ $\phi =t$
$F[y]={\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{t}\limits \!y^{2}dt$	Полярные координаты	$y=r(\phi )$ $\phi =t$	Площадь
$F[y]=\int \limits _{a}^{t}\limits \!{\sqrt {1+y'^{2}}}\,dt$	Декартовы координаты	$y=y(t)$ $x=t$	Длина дуги
$F[x,y]=\int \limits _{a}^{t}\limits \!{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt$	Параметрическое, декартовы координаты	$x=x(t)$ $y=y(t)$
$F[y]=\int \limits _{a}^{t}\limits \!{\sqrt {y^{2}+y'^{2}}}\,dt$	Полярные координаты	$y=r(\phi )$ $\phi =t$
$F[y]={\frac {y''}{(1+y'^{2})^{3/2}}}$	Декартовы координаты	$y=y(t)$ $x=t$	Кривизна
$F[x,y]={\frac {x'y''-y'x''}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}$	Параметрическое, декартовы координаты	$x=x(t)$ $y=y(t)$
$F[y]={\frac {y^{2}+2y'^{2}-yy''}{(y^{2}+y'^{2})^{3/2}}}$	Полярные координаты	$y=r(\phi )$ $\phi =t$
$F[x,y,z]={\frac {\sqrt {(z''y'-z'y'')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}}}$	Параметрическое, декартовы координаты	$x=x(t)$ $y=y(t)$ $z=z(t)$
$F[y]=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{(y'')^{2/3}}}\right)''$	Декартовы координаты	$y=y(t)$ $x=t$	Аффинная кривизна
$F[x,y]={\frac {x''y'''-x'''y''}{(x'y''-x''y')^{5/3}}}-{\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{(x'y''-x''y')^{2/3}}}\right]''$	Параметрическое, декартовы координаты	$x=x(t)$ $y=y(t)$
$F[x,y,z]={\frac {z'''(x'y''-y'x'')+z''(x'''y'-x'y''')+z'(x''y'''-x'''y'')}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})(x''^{2}+y''^{2}+z''^{2})}}$	Параметрическое, декартовы координаты	$x=x(t)$ $y=y(t)$ $z=z(t)$	Кручение кривой
$X[x,y]={\frac {y'}{yx'-xy'}}$ $Y[x,y]={\frac {x'}{xy'-yx'}}$	Параметрическое, декартовы координаты	$x=x(t)$ $y=y(t)$	Дуальная кривая (координаты касательной)
$X[x,y]=x+{\frac {ay'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$ $Y[x,y]=y-{\frac {ax'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$	Параметрическое, декартовы координаты	$x=x(t)$ $y=y(t)$	Параллельная кривая
$X[y]=t-{\frac {1+y'^{2}}{y''}}$ $Y[y]=y+{\frac {1+y'^{2}}{y''}}$	Декартовы координаты	$y=y(x)$ $x=t$	Эволюта
$X[x,y]=x+y'{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{x''y'-y''x'}}$ $Y[x,y]=y+x'{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{y''x'-x''y'}}$	Параметрическое, декартовы координаты	$x=x(t)$ $y=y(t)$
$F[r]=tr'\circ r^{[-1]}$	Натуральные координаты	$r=r(s)$ $s=t$
$X[x,y]=x-{\frac {x'\int \limits _{a}^{t}\limits \!{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$ $Y[x,y]=y-{\frac {y'\int \limits _{a}^{t}\limits \!{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$	Параметрическое, декартовы координаты	$x=x(t)$ $y=y(t)$	Эвольвента
$X[x,y]={\frac {(xy'-yx')y'}{x'^{2}+y'^{2}}}$ $Y[x,y]={\frac {(yx'-xy')x'}{x'^{2}+y'^{2}}}$	Параметрическое, декартовы координаты	$x=x(t)$ $y=y(t)$	Подера относительно начала координат
$X[x,y]={\frac {(x'^{2}-y'^{2})y'+2xyx'}{xy'-yx'}}$ $Y[x,y]={\frac {(x'^{2}-y'^{2})x'+2xyy'}{xy'-yx'}}$	Параметрическое, декартовы координаты	$x=x(t)$ $y=y(t)$	Антиподера относительно начала координат
$X[y]=\int \limits _{a}^{t}\limits \!\cos \left(\int \limits _{a}^{t}\limits \!{\frac {1}{y}}\,dt\right)dt$ $Y[y]=\int \limits _{a}^{t}\limits \!\sin \left(\int \limits _{a}^{t}\limits \!{\frac {1}{y}}\,dt\right)dt$	Натуральные координаты	$y=r(s)$ $s=t$	Преобразование из натуральных координат в декартовы
Метрические функционалы
$F[y]=||y||={\sqrt {\int \limits _{E}\limits \!y^{2}\,dt}}$			Норма
$F[x,y]=\int \limits _{E}\limits \!xy\,dt$			Скалярное произведение
$F[x,y]=\arccos \left[{\frac {\int \limits _{E}\limits \!xy\,dt}{{\sqrt {\int \limits _{E}\limits \!x^{2}\,dt}}{\sqrt {\int \limits _{E}\limits \!y^{2}\,dt}}}}\right]$			Мера Фубини-Штуди (внутренний угол)
Функционалы распределения
$F[x,y]=x*y=\int \limits _{E}\limits \!x(s)y(t-s)\,ds$			Свёртка
$F[y]=\int \limits _{E}\limits \!y\ln y\,dy$			Дифференциальная энтропия
$F[y]=\int \limits _{E}\limits \!yt\,dt$			Математическое ожидание
$F[y]=\int \limits _{E}\limits \!\left(t-\int \limits _{E}\limits \!yt\,dt\right)^{2}y\,dt$			Дисперсия

См. также

• Оператор набла в различных системах координат
• Дифференциальный оператор
• Интегральные преобразования
• Интегральный оператор Фредгольма