Аксиомы Цермело — Френкеля

Материал из Циклопедии
(перенаправлено с «Аксиоматика Цермело-Френкеля»)
Перейти к навигации Перейти к поиску
О доверии к Высшей Математике // Философский Штурм

Аксиомы теории множеств Цермело—Френкеля с аксиомой выбора (ZFC):

  • Аксиома объёмности: если все элементы одного множества принадлежат другому, и наоборот, то это одно и то же множество. (Критерий равенства множеств.)
  • Аксиома регулярности: если во множестве состоит хотя бы один элемент, то оно содержит хотя бы одно подмножество, не содержащее с ним общих элементов.
  • Схема выделения: для любого множества можно найти подмножество, состоящее из его элементов, удовлетворяющих данному предикату. («Схема» — это некоторый шаблон, выражение, порождающее аксиомы: в данном случае по одной аксиоме для каждого предиката.)
  • Аксиома пары: при любых данных двух множествах, существует множество — (неупорядоченная) пара — содержащее только эти два множества.
  • Аксиома объединения: объединение двух множеств всегда множество.
  • Схема преобразования: из любого множества можно получить еще одно множество, где элементами будут решения функционального предиката к элементам исходного множества.
  • Аксиома бесконечности: существует хотя бы одно бесконечное множество.
    [math]\displaystyle{ \exists \mathbf{I} \, ( \emptyset \in \mathbf{I} \, \land \, \forall x \in \mathbf{I} \, ( \, ( x \cup \{x\} ) \in \mathbf{I} ) ) }[/math]
  • Аксиома булеана: для каждого множества существует множество всех его подмножеств.
  • Теорема полной упорядоченности, выводимая из аксиомы выбора и эквивалентная ей: если на множестве элементов определено бинарное отношение, то в каждом его подмножестве будет минимальный элемент относительно этого отношения. Иными словами, любое множество «можно» вполне упорядочить.