Вероятностно-статистическое шкалирование

Вероятностно-статистическое шкалирование — это операция упорядочения исходных функций распределения, идентифицирующих обучающихся в информационном пространстве, путём расчёта моментов функции распределения и перевода их в шкальные оценки. Вероятностно-статистическое шкалирование было предложено В. П. Романовым и Н. А. Соколовой в 2010 году.

В качестве шкалы измерений используется упорядоченная система $\langle A;L_{\Psi },F,G,f,M\rangle$, где $A$ — некоторое упорядоченное множество объектов (обучающихся), обладающих интересующими нас признаками (эмпирическая система); $L_{\Psi }$ — функциональное пространство (пространство функций распределения); $F$ — операция отображения $A$ в подсистему $L_{\Psi }$ (каждый обучающийся идентифицируется функцией распределения); $G$ — группа допустимых преобразований; $f$ — операция отображения функций распределения из подсистемы $L_{\Psi }$ на числовые системы с отношениями $n$-мерного пространства $M$ .

Операция $f$ введена в связи с тем, что работать с функциями распределения в функциональном пространстве достаточно сложно. С целью упрощения осуществляется переход из функционального пространства в числовое пространство. Каждой функции распределения ставится в соответствие набор числовых величин — моментов функции распределения от нулевого до бесконечно большого порядка ($n=$0, 1, 2, …).

Момент нулевого порядка $\mu _{0}(t)=\int _{0}^{\infty }\Psi (\sigma ;t)d\sigma =1$ определяет вероятность найти обучающегося во всём информационном пространстве и, следовательно, равен единице. Здесь $\Psi (\sigma ;t)$ — функция распределения; $\sigma$ — координата в информационном пространстве; $t$ — время. Момент первого порядка $\mu _{1}(t)=\int _{0}^{\infty }\sigma \Psi (\sigma ;t)d\sigma$ определяет математическое ожидание ($\mu _{1}=\langle \sigma \rangle$ — среднее значение координаты). Момент второго порядка $\mu _{2}(t)=\int _{0}^{\infty }[\sigma -\mu _{1}(t)]^{2}\Psi (\sigma ;t)d\sigma$ характеризует дисперсию функции распределения.

Моменты $n$-го порядка ($n>1$) имеют вид $\mu _{n}(t)=\int _{0}^{\infty }[\sigma -\mu _{1}(t)]^{n}\Psi (\sigma ;t)d\sigma$. Моменты чётных порядков характеризуют расплывание функции распределения, а моменты нечётных порядков — асимметрию функции распределения относительно математического ожидания.

Отсюда следует, что процедура оценки знаний обучающихся должна проводиться следующим образом:

• нахождение экспериментально по результатам тестирования, например экзамена, индивидуальных функций распределения студентов (функций распределения, соответствующих каждому студенту);
• расчет моментов индивидуальных функций распределения;
• проведение ранжирования обучающихся по уровню знаний на основе сравнения моментов различных порядков их индивидуальных функций распределения.

См. также

• Вероятностно-статистическая модель обучающегося

Рекомендуемая литература

• Романов В. П., Соколова Н. А. Вероятностно-статистический метод психолого-педагогических исследований. — М.: Ладомир, 2012. — 144 с.
• Романов В. П., Ширяева Н. А. Неклассический вероятностно-статистический метод научных исследований: Применение в психологической педагогике. — М.: ДеˊЛибри, 2018. — 136 с.