Выражение (математика)

Выражения с переменными и уравнения // KhanAcademyRussian [5:51]

Выражение, в математике — конечная комбинация символов, которая правильно построена согласно правилам, зависящим от контекста.

Математические символы могут обозначать числа (константы), переменные, операции, функции, пунктуацию, группирование и другие аспекты логического синтаксиса.

Примеры

Синтаксис выражений варьируется от простого:

$0+0$

$8x-5$ (линейный полином)

$7{{x}^{2}}+4x-10$ (квадратный полином)

${\frac {x-1}{{{x}^{2}}+12}}$ (рациональное выражение)

до сложного составного:

$f(a)+\sum _{k=1}^{n}\left.{\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}\right|_{t=0}f(u(t))+\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{n}}{n!}}{\frac {d^{n+1}}{dt^{n+1}}}f(u(t))\,dt.$

Формы

Математические выражения включают арифметические, полиномиальные, алгебраические выражения, замкнутые формы, аналитические выражения. Таблица ниже показывает некоторые сходства и различия между ними.

	Арифметические выражения	Полиномиальные выражения	Алгебраические выражения	Замкнутые формы	Аналитические выражения
Константа	Да	Да	Да	Да	Да
Переменная	Да	Да	Да	Да	Да
Арифметическая операция	Да	Да	Да	Да	Да
Факториал	Да	Да	Да	Да	Да
Целая экспонента	Нет	Да	Да	Да	Да
Корень N-ой степени	Нет	Нет	Да	Да	Да
Рациональная экспонента	Нет	Нет	Да	Да	Да
Иррациональная экспонента	Нет	Нет	Нет	Да	Да
Логарифм	Нет	Нет	Нет	Да	Да
Тригонометрич. функция	Нет	Нет	Нет	Да	Да
Обратная тригонометрич. функция	Нет	Нет	Нет	Да	Да
Гиперболическая функция	Нет	Нет	Нет	Да	Да
Обратная гиперболическая функция	Нет	Нет	Нет	Да	Да
Гамма функция	Нет	Нет	Нет	Нет	Да
Функция Бесселя</A>	Нет	Нет	Нет	Нет	Да
Специальная функция	Нет	Нет	Нет	Нет	Да
Непрерывная функция</A>	Нет	Нет	Нет	Нет	Да
Бесконечная последовательность	Нет	Нет	Нет	Нет	Да
Формальная степенная последовательность</A>	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет
Дифференциал	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет
Предел	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет
Интеграл	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет

Синтаксис и семантика

Синтаксис

 → Синтаксис

Быть выражением является синтаксическим понятием.

Выражение должно быть правильно построенным: операторы должны иметь нужное количество входов в подходящих позициях, символы, подаваемые на эти входы, должны быть значимыми, и т. д. Цепочки символов, нарушающие правила синтаксиса, построены некорректно и не образуют приемлемого математического выражения.

Например, в обычной арифметической нотации выражение 2 + 3 построено правильно, но следующее выражение непригодно:

$\times 4)x+,/y$.

Семантика

 → Семантика

Семантика изучает значения. Формальная семантика занимается приложением значений к выражениям.

В алгебре выражение может использоваться для обозначения величины,, которая зависит от величин переменных, входящих в выражении. Определение этой величины зависит от семантики, присвоенной символам выражения. Эти семантические правила могут объявить, что некоторые выражения не определяют никакой величины (например, когда они включают деление на 0). Говорят, что такие выражения имеют неопределенное значение, но тем не менее. они — правильно построенные выражения. Вообще говоря, значение выражений не сводится только к обозначению величин; например, выражение может обозначать условие, или уравнение, которое должно быть решено, или может трактоваться как некоторый объект в своем собственном контексте, который управляется согласно определенным правилам. Определенные выражения, которые обозначают величину, одновременно фиксируют необходимое условие, которое считается принятым.

Формальные языки и лямбда-исчисление

 → Формальный язык

Формальные языки позволяют уточнить (формализовать) понятие правильно построенных выражений.

В 1930-х годах новый вид выражений, названных лямбда-выражениями, был введен А. Черчом и С. Клини для определения функций и их вычислений. Эти выражения формируют основание формальной системы лямбда-исчисление, используемой в математической логике и теории языков программирования.

Эквивалентность двух лямбда-выражений неразрешима. Неразрешимость также имеет место для выражений, представляющих действительные числа, построенные из целых чисел с использованием арифметических операций, логарифмов и экспоненциалов (теорема Ричардсона).

Переменные

Многие математические выражения содержат переменные. Некоторая переменная может рассматриваться как свободная или связанная. Для данной комбинации величин свободных переменных выражение может быть вычислено, однако для некоторых других комбинаций значение выражения может остаться неопределенным. Например, выражение

$x/y$,

вычисляемое для x = 10, y = 5, дает 2; но оно не определено для y = 0.

Таким образом выражение представляет функцию, входы (аргументы) которой составляют величины, присвоенные свободным переменным, и чей результат — вычисленная величина выражения. Результат вычисление выражения зависит от определения математических операторов и от системы величин, которая является её контекстом.

Говорят, что два выражения эквивалентны, если для каждой комбинации величин свободных переменных, оба выражения дают тот же самый результат, то есть они представляют одну и ту же функцию. Например, выражение

$\sum _{n=1}^{3}(2nx)$

имеет свободную переменную x, связанную переменную n, константы 1, 2, и 3, два вхождения неявного (имплицитного) оператора умножения, и оператор суммирования. Выражение эквивалентно более простому выражению 12x. Значение для x = 3 и n=3 равно 36.

См. также

• Алгебраическое замыкание
• Алгебраическое выражение
• Аналитическое выражение
• Комбинатор
• Компьютерное алгебраическое выражение
• Уравнение
• Выражение (программирование)
• Формальная грамматика
• Формула
• Функциональное программирование
• Логическое выражение
• Терм (логика)

Литература

• Выгодский М. Я., Справочник по элементарной математике, Москва Изд-во 1982.
• Яремчук Ф. П. и др., Алгебра и элементарные функции, Киев Наукова Думка 1987.
• Бронштейн И. Н. и др., Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, Изд-во Наука 1986.
• Корн Г. и др., Справочник по математикее для научных работников и инженеров, Изд-во Наука 1968.