Двумерное уравнение Шрёдингера
Особенности преобразования рассеяния для двумерного уравнения Шрёдингера были открыты в рамках теории потенциального рассеяния[1] Сам анализ находит применение при описании нерелятивистского рассеяния частиц.
Введение[править]
Теория потенциального рассеяния[2] одна из самых важных частей современной физики. Как известно, изучение процессов рассеяния частиц, начиная с экспериментов Резерфорда и кончая современными экспериментами на ускорителях, главный источник информации о микромире. Рассеяние частиц на кристаллах является одним из главных методов в физике твердого тела. Также задачи теории рассеяния естественным образом возникают в оптике и геофизике (восстановление структуры Земли по сейсмическим данным).
Общая формулировка задачи рассеяния и обсуждение известных результатов[править]
Здесь рассматривается квантовомеханическое описание нерелятивистского потенциального рассеяния двух частиц в случае, когда потенциалы взаимодействия зависят только от расстояния между частицами. При этом частицы считаются бесспиновыми, а потенциалы изотропными.[3]
При сделанных предположениях движение частиц в системе их центра тяжести может быть описано следующим уравнением Шрёдингера:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle - \frac{\hbar^2}{2M} \Delta\Psi(\vec r)+ U(r)\Psi(\vec r) = E\Psi(\vec r)}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hbar} - постоянная Планка
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M= \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}} - приведенная масса, где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2} - массы частиц
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U(r)} - потенциал
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec r} - относительное расстояние между частицами
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E=k^2} - энергия системы, причем непрерывному спектру соответствуют вещественные Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k>0} , а дискретному - точки мнимой оси Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k=ik_n,k_n >0} .
Если считать, что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hbar=2M=1} ,то:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\Delta\Psi(\vec r)+U(\vec r)\Psi(\vec r)= k^2\Psi(\vec r)}
Помимо этого здесь взята во внимание обратная задача рассеяния, иными словами восстановление параметров взаимодействия частиц по известным данным рассеяния.
При этом возникает вопрос : Какого именно набора данных рассеяния достаточно для этого? Это зависит от размерности случая.
Одномерный случай[править]
В одномерном случае, решение , описывающее процесс рассеяния имеет следующую асимптотику при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\longrightarrow\infty}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{-ikx}+r(k)e^{ikx}}
т. е. представляет собой суперпозицию падающей т отраженной волн.
Функция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r(k)} - есть коэффициент отражения.
Собственные функции связанных состояний Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\varphi^{(n)}(x))} на бесконечности имеют вид
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Psi\longrightarrow c \pm e ^{\mp k_n x}}
Фиксируя Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} - ую собственную функцию ее асимптотикой на Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\infty} по Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} :
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi^{(n)} (x)=e^{k_n x}+o(e^{k_n x})}
При этом, при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\longrightarrow\infty} функция
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi^{(n)} (x)=b_ne^{-k_n x}+o(e^{-k_n x})}
очевидно, вещественны, так что вещественны и величины Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_n} .
Совокупность Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s=\{r(k), k_n*|b_n|\}} называется данными рассеяния в одномерном случае. Отображение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle u(x)\longrightarrow s} в данные рассеяния однозначно обратимо. Процедура восстановления Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle u(x)} по Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s} и составляет предмет обратной задачи рассеяния.
Многомерный случай[править]
В случае произвольной разномерности Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} решение, описывающее процесс рассеяния имеет при больших Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r} в направлении Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec r} следующую асимптотику:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{i(\vec k \vec r)} + F( \vec k , \frac {| \vec k|} { |\vec r|} \vec r) \frac {e^{i| \vec k|| \vec r|}} {\surd| \vec r|^{n-1}} +0 \frac {1}{\surd| \vec r|^{n-1}}} ,
где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F( \vec k , \frac {| \vec k|} { |\vec r|} \vec r)} - амплитуда рассеяния. Обратная задача для этого случая, решенная Фадеевым сложнее.[4] Дело в том, что амплитуда рассеяния Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F( \vec k , \frac {| \vec k|} { |\vec r|} \vec r)} в Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} -мерном пространстве функция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2n-1} вещественных переменных, а потенциал Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U( \vec r)} - функция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} -переменных. Таким образом, задача становится переопределенной и для данных рассеяния должны быть получены некие условия совместимости.
Двумерный случай[3][править]
Для того, чтобы избежать сложного анализа условий совместимости данных рассеяния предлагается использовать для построения потенциала только часть исходных данных.
В двумерном случае задача перестаёт быть переопределенной, если рассматривать данные рассеяния при фиксированной энергии. При этом удобно с помощью подходящей замены координат привести задачу с фиксированной энергией Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varepsilon_0} к одному из трех случаев:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varepsilon_0} = 1
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varepsilon_0} =0
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varepsilon_0} = -1
Случай Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varepsilon_0} = -1 разобран при некоторых предположениях относительно данных рассеяния, однако для получаемого в этом случае оператора Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L=-\Delta+U(x,y)} спектр целиком лежит выше данного значения. Возникает вопрос: Какими особенностями будут обладать данные рассеяния, если спектр оператора Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} простирается и ниже этого значения? Этому и посвящен анализ.
Постановка задачи[править]
Мы будем считать, что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varepsilon_0=-1} и использовать следующие комплексные обозначения:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=x+iy } Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \partial _z= \frac {\partial x-i\partial y} {2}} Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x= z_R}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z^\prime=x-iy} Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \partial _z^\prime= \frac {\partial x+i\partial y} {2}} Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=z_I}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L=-4\partial z\partial \bar{z}+U(z, \bar z)}
По аналогии с задачей рассеяния в непрерывном спектре, можно определить обобщённую задачу рассеяния при отрицательной энергии:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (-4\partial z\partial \bar{z}+U(z,\bar{z})\Psi(\lambda,z)=-\Psi(\lambda,z)}
притом, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Psi(\lambda,z)=e^{\frac{1}{2}(\lambda_\bar{z}+ \frac {z} {\lambda})}\chi(\lambda,z),\chi(\lambda,z)=1+o(1)} , при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\bar{z}|\longrightarrow\infty}
Кроме того, все внимание будет обращено только на потенциалы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U} вида Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U( \vec r)} = Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U(r)} ; тогда легко видеть, что поворотом системы координат задача сводится к задаче с действительным Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda=\bar{\lambda}} . При определенных условиях обратная задача в такой постановке однозначно разрешима, и весь спектр оператора Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} лежит выше значения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varepsilon_0=-1} . Однако, в противоположном случае у данных рассеяния должны появиться особенности в комплексной Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda} -плоскости, что накладывает на них дополнительные ограничения.
Вывод интегрального уравнения в обобщенных данных рассеяния[5][править]
Исходное уравнение:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (-4\partial z\partial \bar{z}+U(z,\bar{z}))\Psi=-\Psi}
заменой Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Psi=e^{ \frac{1}{2}(\lambda_\bar{z} \frac {z}{\lambda})}\chi} , где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \chi=(1+0(1))} при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |z|\longrightarrow\infty} сводится к уравнению:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (-4\partial z\partial \bar{z}-2\lambda\partial z- \frac{2}{\lambda}\partial \bar{z}+U(z,\bar{z}))\chi=0}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \chi=(1+0(1))} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |z|\longrightarrow\infty} .
Функция Грина этого уравнения выглядит следующим образом:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G(\lambda,z)=\iint \frac {e^{ \frac {1}{2} (\bar{k}z+k\bar{z})}} {k\bar{k}-ik/\lambda-i\bar{k}\lambda} \frac {dk_Rdk_I}{(2\pi)^2}}
А интегральное уравнение:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \chi(\lambda,z)=1-\iint G(\lambda,z-z\prime)U(z\prime)\chi(\lambda,z\prime)dz\prime_Rdz\prime_I}
Для нахождения данных рассеяния нужно найти асимптотику Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G(\lambda,z)} и асимптотику самой Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \chi(\lambda,z)} при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |z|\longrightarrow\infty}
Асимптотику Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G(\lambda,z)} можно найти по формуле:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac {1}{\pi^2} \iint \frac{exp(i(k\bar{z}+\bar{k}z))}{ak+b\bar{k}}dk_Rdk_I= \frac {i}{\pi}sgn(a\bar a{-b\bar{b})\frac {1}{az-b\bar{z}}})}
Это приводит к выражению:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G(\lambda,z)=|z|\longrightarrow\infty \frac {1}{2 \pi}sgn(\lambda\bar{\lambda}-1)\{ \frac{1}{{z}/{\lambda}-\bar{z \lambda}}- } Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac {exp[-\frac{1}{2}(\lambda-1/\bar{\lambda)\bar{z}}+ 1/2(\bar{\lambda - 1/\lambda})z]}{\bar{\lambda z -\bar{z/\bar{\lambda}}}}} Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \}}
Для функции Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \chi(\lambda,z)} имеем:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \chi=1- \frac{1}{\pi} \frac {sgn(\lambda \bar{ \lambda-1})}{z/\lambda-\bar{z \lambda}}\iint U(z\prime)\chi(\lambda,z\prime)dz\prime_Rdz\prime_I+} Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{2 \pi} \frac {sgn(\lambda\bar{\lambda-1}}{\lambda z-\bar{z/\bar{\lambda}}} exp[-1/2(\lambda-1)\bar{\lambda)\bar{z+1/2(\bar{\lambda-1/\lambda)z]}}}} Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \iint exp [ \frac{1}{2}(\lambda-1/\bar{\lambda})\bar{z} - \frac {1}{2}(\bar{\lambda}-1/\lambda) z\prime]U(z\prime)\chi(\lambda,z\prime)dz\prime_Rdz\prime_I}
Так как в данном случае можно считать,что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda=\bar{\lambda}} , то
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b(\lambda)=-U_0\iint dxdyexp[-iy(\lambda- \frac {1}{\lambda})]\chi(\lambda,x,y)}
Обсуждение гипотез и заключение замечания[править]
Одно из предположений о виде функции Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b(\lambda)} заключается в том, что она не имеет особенностей, когда в основное состояние в данном потенциале лежит выше, чем Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varepsilon_0=-1} . Пологая, что радиус ямы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_0=1} , получим уравнение на критическое значение глубины потенциала Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_0} /
Внутри ямы для функции основного состояния имеет вид:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Psi^n_{rr}+ \frac{1}{r}\Psi\prime_r+(U_0-1)\Psi=0}
Его решением является функция Бесселя нулевого порядка: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Psi=const*J_0(r \sqrt{U_0-1})}
Вне ямы уравнение имеет вид:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Psi^n_{rr}+ \frac{1}{r}\Psi\prime_r-\Psi=0} , решением которого является функция Макдональда нулевого порядка Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Psi= const * K_0(r)}
Если сложить логарифмические производные этих функция при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r=1} и использовать свойства функции Бесселя[6], то можно получить:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac {J_1(\sqrt{U^*_0-1})\sqrt{U^*_0-1}}{J_0(\sqrt{U^*_0-1})}= \frac {K_1(1)}{K_0(1)}}
Численное решение этого уравнения дает первый корень Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U^*_0=3.053} , что совпадает с точкой, в которой должен появиться полюс в данных рассеяния.
Такое поведение данных рассеяния означает, что обратная задача для данных рассеяния с особенностями скорее всего не разрешима в общем случае, а только для каких-то определенных положений полюсов в данных рассеяния существует соответствующий потенциал. Из этого следует, что расположение этих полюсов подчиняется какому-то закону. Выяснить этот закон еще предстоит.[7]
См. также[править]
- Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера
- Функции Бесселя
- Группа Шрёдингера
- Оператор Шрёдингера
- Нелинейное уравнение Шрёдингера
- Уравнение Шрёдингера
Источники[править]
- ↑ P. G. Burke Potential Scattering in Atomic Physics. — Springer US, 1977. — ISBN 9781461341147.
- ↑ Robert Bastasz, Wolfgang Eckstein Particle Scattering англ. // Characterization of Materials. — American Cancer Society, 2012. — С. 1–16. — ISBN 9780471266969. — DOI:10.1002/0471266965.com006.pub2
- ↑ 3,0 3,1 J. Timothy Londergan, John P. Carini, David P. Murdock Binding and Scattering in Two-Dimensional Systems: Applications to Quantum Wires, Waveguides and Photonic Crystals. — Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 1999. — (Lecture Notes in Physics Monographs). — ISBN 9783540666844.
- ↑ Л. Д. Фаддеев, “Обратная задача квантовой теории рассеяния. II”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат., 3, ВИНИТИ, М., 1974, 93–180; J. Soviet Math., 5:3 (1976), 334–396. www.mathnet.ru. Проверено 8 апреля 2019.
- ↑ Метод численного решения двумерного уравнения Шредингера. — 2004. — С. 321–323.
- ↑ Б. М. Левитан, “Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье”, УМН, 6:2(42) (1951), 102–143. www.mathnet.ru. Проверено 8 апреля 2019.
- ↑ Функция эффективного радиуса для дублетного nd-рассеяния из анализа современных данных // Ядерная Физика. — 2006. — В. 4. — том 69. — С. 631–646. — ISSN 0044-0027.
Литература[править]
- Шрёдингер Э. Избранные труды по квантовой механике. М.: Наука, 1976.
- Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика
- Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Наука, 1963. — 619 с.
- Ватсон Г. Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949.
- Шаблон:Книга:Физическая энциклопедия
 Модели квантовой механики ↑ | |
|---|---|
| Одномерные без учёта спина |
Свободная частица • Яма с бесконечными стенками • Прямоугольная квантовая яма • Дельтообразный потенциал • Треугольная квантовая яма • Гармонический осциллятор • Потенциальная ступенька • Потенциальная яма Пёшль — Теллера • Модифицированная потенциальная яма Пёшль — Теллера Частица в периодическом потенциале: Дираковская потенциальная гребёнка |
| Многомерные без учёта спина |
Круговой осциллятор • Ион молекулы водорода • Симметричный волчок Сферически-симметрические потенциалы: Потенциал Вудса — Саксона • Задача Кеплера • Потенциал Юкавы • Потенциал Морзе • Потенциал Хюльтена • Молекулярный потенциал Кратцера • Экспоненциальный потенциал |
| С учётом спина |
Электрон со спином в центральном поле |