Двумерное уравнение Шрёдингера

Особенности преобразования рассеяния для двумерного уравнения Шрёдингера были открыты в рамках теории потенциального рассеяния Сам анализ находит применение при описании нерелятивистского рассеяния частиц.

Введение

Теория потенциального рассеяния одна из самых важных частей современной физики. Как известно, изучение процессов рассеяния частиц, начиная с экспериментов Резерфорда и кончая современными экспериментами на ускорителях, главный источник информации о микромире. Рассеяние частиц на кристаллах является одним из главных методов в физике твердого тела. Также задачи теории рассеяния естественным образом возникают в оптике и геофизике (восстановление структуры Земли по сейсмическим данным).

Общая формулировка задачи рассеяния и обсуждение известных результатов

Здесь рассматривается квантовомеханическое описание нерелятивистского потенциального рассеяния двух частиц в случае, когда потенциалы взаимодействия зависят только от расстояния между частицами. При этом частицы считаются бесспиновыми, а потенциалы изотропными.

При сделанных предположениях движение частиц в системе их центра тяжести может быть описано следующим уравнением Шрёдингера:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\Delta \Psi ({\vec {r}})+U(r)\Psi ({\vec {r}})=E\Psi ({\vec {r}})$

$\hbar$- постоянная Планка

$M={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$- приведенная масса, где $m_{1}$и $m_{2}$- массы частиц

$U(r)$- потенциал

${\vec {r}}$- относительное расстояние между частицами

$E=k^{2}$- энергия системы, причем непрерывному спектру соответствуют вещественные $k>0$, а дискретному - точки мнимой оси $k=ik_{n},k_{n}>0$.

Если считать, что $\hbar =2M=1$,то:

$-\Delta \Psi ({\vec {r}})+U({\vec {r}})\Psi ({\vec {r}})=k^{2}\Psi ({\vec {r}})$

Помимо этого здесь взята во внимание обратная задача рассеяния, иными словами восстановление параметров взаимодействия частиц по известным данным рассеяния.

При этом возникает вопрос : Какого именно набора данных рассеяния достаточно для этого? Это зависит от размерности случая.

Одномерный случай

В одномерном случае, решение , описывающее процесс рассеяния имеет следующую асимптотику при $x\longrightarrow \infty$

$e^{-ikx}+r(k)e^{ikx}$

т. е. представляет собой суперпозицию падающей т отраженной волн.

Функция $r(k)$- есть коэффициент отражения.

Собственные функции связанных состояний $(\varphi ^{(n)}(x))$ на бесконечности имеют вид

$\Psi \longrightarrow c\pm e^{\mp k_{n}x}$

Фиксируя $n$- ую собственную функцию ее асимптотикой на $-\infty$ по $x$:

$\varphi ^{(n)}(x)=e^{k_{n}x}+o(e^{k_{n}x})$

При этом, при $x\longrightarrow \infty$функция

$\varphi ^{(n)}(x)=b_{n}e^{-k_{n}x}+o(e^{-k_{n}x})$

очевидно, вещественны, так что вещественны и величины $b_{n}$.

Совокупность $s=\{r(k),k_{n}*|b_{n}|\}$называется данными рассеяния в одномерном случае. Отображение $u(x)\longrightarrow s$ в данные рассеяния однозначно обратимо. Процедура восстановления $u(x)$по $s$и составляет предмет обратной задачи рассеяния.

Многомерный случай

В случае произвольной разномерности $n$решение, описывающее процесс рассеяния имеет при больших $r$в направлении ${\vec {r}}$следующую асимптотику:

$e^{i({\vec {k}}{\vec {r}})}+F({\vec {k}},{\frac {|{\vec {k}}|}{|{\vec {r}}|}}{\vec {r}}){\frac {e^{i|{\vec {k}}||{\vec {r}}|}}{\surd |{\vec {r}}|^{n-1}}}+0{\frac {1}{\surd |{\vec {r}}|^{n-1}}}$,

где $F({\vec {k}},{\frac {|{\vec {k}}|}{|{\vec {r}}|}}{\vec {r}})$- амплитуда рассеяния. Обратная задача для этого случая, решенная Фадеевым сложнее. Дело в том, что амплитуда рассеяния $F({\vec {k}},{\frac {|{\vec {k}}|}{|{\vec {r}}|}}{\vec {r}})$в $n$-мерном пространстве функция $2n-1$ вещественных переменных, а потенциал $U({\vec {r}})$- функция $n$-переменных. Таким образом, задача становится переопределенной и для данных рассеяния должны быть получены некие условия совместимости.

Двумерный случай

Для того, чтобы избежать сложного анализа условий совместимости данных рассеяния предлагается использовать для построения потенциала только часть исходных данных.

В двумерном случае задача перестаёт быть переопределенной, если рассматривать данные рассеяния при фиксированной энергии. При этом удобно с помощью подходящей замены координат привести задачу с фиксированной энергией $\varepsilon _{0}$к одному из трех случаев:

$\varepsilon _{0}$= 1

$\varepsilon _{0}$=0

$\varepsilon _{0}$= -1

Случай $\varepsilon _{0}$= -1 разобран при некоторых предположениях относительно данных рассеяния, однако для получаемого в этом случае оператора $L=-\Delta +U(x,y)$спектр целиком лежит выше данного значения. Возникает вопрос: Какими особенностями будут обладать данные рассеяния, если спектр оператора $L$ простирается и ниже этого значения? Этому и посвящен анализ.

Постановка задачи

Мы будем считать, что $\varepsilon _{0}=-1$и использовать следующие комплексные обозначения:

$z=x+iy$ $\partial _{z}={\frac {\partial x-i\partial y}{2}}$ $x=z_{R}$

$z^{\prime }=x-iy$ $\partial _{z}^{\prime }={\frac {\partial x+i\partial y}{2}}$ $y=z_{I}$

$L=-4\partial z\partial {\bar {z}}+U(z,{\bar {z}})$

По аналогии с задачей рассеяния в непрерывном спектре, можно определить обобщённую задачу рассеяния при отрицательной энергии:

$(-4\partial z\partial {\bar {z}}+U(z,{\bar {z}})\Psi (\lambda ,z)=-\Psi (\lambda ,z)$

притом, $\Psi (\lambda ,z)=e^{{\frac {1}{2}}(\lambda _{\bar {z}}+{\frac {z}{\lambda }})}\chi (\lambda ,z),\chi (\lambda ,z)=1+o(1)$, при $|{\bar {z}}|\longrightarrow \infty$

Кроме того, все внимание будет обращено только на потенциалы $U$вида $U({\vec {r}})$= $U(r)$; тогда легко видеть, что поворотом системы координат задача сводится к задаче с действительным $\lambda ={\bar {\lambda }}$. При определенных условиях обратная задача в такой постановке однозначно разрешима, и весь спектр оператора $L$лежит выше значения $\varepsilon _{0}=-1$. Однако, в противоположном случае у данных рассеяния должны появиться особенности в комплексной $\lambda$-плоскости, что накладывает на них дополнительные ограничения.

Вывод интегрального уравнения в обобщенных данных рассеяния

Исходное уравнение:

$(-4\partial z\partial {\bar {z}}+U(z,{\bar {z}}))\Psi =-\Psi$

заменой $\Psi =e^{{\frac {1}{2}}(\lambda _{\bar {z}}{\frac {z}{\lambda }})}\chi$, где $\chi =(1+0(1))$при $|z|\longrightarrow \infty$ сводится к уравнению:

$(-4\partial z\partial {\bar {z}}-2\lambda \partial z-{\frac {2}{\lambda }}\partial {\bar {z}}+U(z,{\bar {z}}))\chi =0$

$\chi =(1+0(1))$, $|z|\longrightarrow \infty$.

Функция Грина этого уравнения выглядит следующим образом:

$G(\lambda ,z)=\iint {\frac {e^{{\frac {1}{2}}({\bar {k}}z+k{\bar {z}})}}{k{\bar {k}}-ik/\lambda -i{\bar {k}}\lambda }}{\frac {dk_{R}dk_{I}}{(2\pi )^{2}}}$

А интегральное уравнение:

$\chi (\lambda ,z)=1-\iint G(\lambda ,z-z\prime )U(z\prime )\chi (\lambda ,z\prime )dz\prime _{R}dz\prime _{I}$

Для нахождения данных рассеяния нужно найти асимптотику $G(\lambda ,z)$и асимптотику самой $\chi (\lambda ,z)$при $|z|\longrightarrow \infty$

Асимптотику $G(\lambda ,z)$можно найти по формуле:

${\frac {1}{\pi ^{2}}}\iint {\frac {exp(i(k{\bar {z}}+{\bar {k}}z))}{ak+b{\bar {k}}}}dk_{R}dk_{I}={\frac {i}{\pi }}sgn(a{\bar {a}}{-b{\bar {b}}){\frac {1}{az-b{\bar {z}}}}})$

Это приводит к выражению:

$G(\lambda ,z)=|z|\longrightarrow \infty {\frac {1}{2\pi }}sgn(\lambda {\bar {\lambda }}-1)\{{\frac {1}{{z}/{\lambda }-{\bar {z\lambda }}}}-$${\frac {exp[-{\frac {1}{2}}(\lambda -1/{\bar {\lambda ){\bar {z}}}}+1/2({\bar {\lambda -1/\lambda }})z]}{\bar {\lambda z-{\bar {z/{\bar {\lambda }}}}}}}$$\}$

Для функции $\chi (\lambda ,z)$имеем:

$\chi =1-{\frac {1}{\pi }}{\frac {sgn(\lambda {\bar {\lambda -1}})}{z/\lambda -{\bar {z\lambda }}}}\iint U(z\prime )\chi (\lambda ,z\prime )dz\prime _{R}dz\prime _{I}+$${\frac {1}{2\pi }}{\frac {sgn(\lambda {\bar {\lambda -1}}}{\lambda z-{\bar {z/{\bar {\lambda }}}}}}exp[-1/2(\lambda -1){\bar {\lambda ){\bar {z+1/2({\bar {\lambda -1/\lambda )z]}}}}}}$$\iint exp[{\frac {1}{2}}(\lambda -1/{\bar {\lambda }}){\bar {z}}-{\frac {1}{2}}({\bar {\lambda }}-1/\lambda )z\prime ]U(z\prime )\chi (\lambda ,z\prime )dz\prime _{R}dz\prime _{I}$

Так как в данном случае можно считать,что $\lambda ={\bar {\lambda }}$, то

$b(\lambda )=-U_{0}\iint dxdyexp[-iy(\lambda -{\frac {1}{\lambda }})]\chi (\lambda ,x,y)$

Обсуждение гипотез и заключение замечания

Одно из предположений о виде функции $b(\lambda )$заключается в том, что она не имеет особенностей, когда в основное состояние в данном потенциале лежит выше, чем $\varepsilon _{0}=-1$. Пологая, что радиус ямы $R_{0}=1$, получим уравнение на критическое значение глубины потенциала $U_{0}$/

Внутри ямы для функции основного состояния имеет вид:

$\Psi _{rr}^{n}+{\frac {1}{r}}\Psi \prime _{r}+(U_{0}-1)\Psi =0$

Его решением является функция Бесселя нулевого порядка: $\Psi =const*J_{0}(r{\sqrt {U_{0}-1}})$

Вне ямы уравнение имеет вид:

$\Psi _{rr}^{n}+{\frac {1}{r}}\Psi \prime _{r}-\Psi =0$, решением которого является функция Макдональда нулевого порядка $\Psi =const*K_{0}(r)$

Если сложить логарифмические производные этих функция при $r=1$и использовать свойства функции Бесселя, то можно получить:

${\frac {J_{1}({\sqrt {U_{0}^{*}-1}}){\sqrt {U_{0}^{*}-1}}}{J_{0}({\sqrt {U_{0}^{*}-1}})}}={\frac {K_{1}(1)}{K_{0}(1)}}$

Численное решение этого уравнения дает первый корень $U_{0}^{*}=3.053$, что совпадает с точкой, в которой должен появиться полюс в данных рассеяния.

Такое поведение данных рассеяния означает, что обратная задача для данных рассеяния с особенностями скорее всего не разрешима в общем случае, а только для каких-то определенных положений полюсов в данных рассеяния существует соответствующий потенциал. Из этого следует, что расположение этих полюсов подчиняется какому-то закону. Выяснить этот закон еще предстоит.

См. также

• Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера
• Функции Бесселя
• Группа Шрёдингера
• Оператор Шрёдингера
• Нелинейное уравнение Шрёдингера
• Уравнение Шрёдингера

Литература

• Шрёдингер Э. Избранные труды по квантовой механике. М.: Наука, 1976.
• Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Наука, 1963. — 619 с.
• Ватсон Г. Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949.
• Шаблон:Книга:Физическая энциклопедия

Модели квантовой механики ↑ [+]
Одномерные без учёта спина	Свободная частица • Яма с бесконечными стенками • Прямоугольная квантовая яма • Дельтообразный потенциал • Треугольная квантовая яма • Гармонический осциллятор • Потенциальная ступенька • Потенциальная яма Пёшль — Теллера • Модифицированная потенциальная яма Пёшль — Теллера Частица в периодическом потенциале: Дираковская потенциальная гребёнка
Многомерные без учёта спина	Круговой осциллятор • Ион молекулы водорода • Симметричный волчок Сферически-симметрические потенциалы: Потенциал Вудса — Саксона • Задача Кеплера • Потенциал Юкавы • Потенциал Морзе • Потенциал Хюльтена • Молекулярный потенциал Кратцера • Экспоненциальный потенциал
С учётом спина	Электрон со спином в центральном поле