Изображение на координатной плоскости множества решений неравенств с двумя переменными и их систем

Изображение на координатной плоскости множества решений неравенств с двумя переменными и их систем — информация о решении неравенств графическим методом.

Общая информация

Решить неравенство и уравнение можно аналитическим способом, а можно с помощью графиков. Рассмотрим решение неравенств с двумя переменными графическим способом.

Алгоритм решения неравенств с помощью построений функций на координатной плоскости

1. Полученные неравенства желательно привести к виду:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{cases} y>ax+b \\ y>cx+d \\ \end{cases} }

2. Равносильное неравенство необходимо записать в виде равенства. Для этого знак неравенства необходимо заменить на равно.

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{cases} y=ax+b \\ y=cx+d \\ \end{cases} }

3. Необходимо определить полученную функцию для использования её конкретных свойств.

4. Необходимо изобразить полученную функцию на графике. Если первоначальное неравенство было строгим, то график следует изображать пунктирной линией, если неравенство нестрогое — сплошной линией.

5. Следует определить количество областей координатной плоскости, полученных в результате разбиения её графиком функции.

6. Из каждой области нужно выбрать точку и подставить её координаты в первоначальное неравенство.

7. Осталось выбрать те области, которые подходят по условию неравенства.

Пример

Файл:Графическое решение неравества.png

Изобразим на координатной плоскости множество решений нера­венства

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (y - x^2 )(y - x - 3) < 0 } .

Сначала построим график уравнения

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (y - x^2 )(y - x - 3) = 0 } .

Им яв­ляется парабола Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y = x^2} и прямая Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y = x + 3} .

Построим эти линии и отметим, что изменение знака выражения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (y-x^2)(y-x-3)} проис­ходит только на этих линиях.

Для точки Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A (0; 5)} определим знак это­го выражения: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (5-3) > 0} (то есть данное неравенство не выполняется).

Отметим множество точек, для кото­рых данное неравенство выполнено (эти области заштрихованы).

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Изображение на координатной плоскости множества решений неравенств с двумя переменными и их систем», расположенная по адресу: — https://ru.ruwiki.ru/wiki/Изображение_на_координатной_плоскости_множества_решений_неравенств_с_двумя_переменными_и_их_систем Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».