Невырожденное дифференцирование в конечномерной алгебре Ли

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Невырожденное дифференцирование в конечномерной алгебре Ли — дифференцирование D в алебре Ли Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{g}} такое, что если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \ne 0} , то Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Dx \ne 0} (иными словами, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle det D\ne 0} ). Дифференцирование — это такое линейное отображение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D: \mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{g}} , что

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D[\xi,\eta] = [D\xi,\eta]+[\xi, D\eta]}

Поле нулевой характеристики[править]

В случае поля нулевой характеристики алгебра Ли с невырожденным дифференцированием нильпотентна. Утверждение было впервые по-видимому доказано Натаном Джекобсоном.[1] Подобная задача есть в задачнике В. В. Трофимова по группам и алгебрам Ли. Нижеприведенное доказательство разбито на леммы, первые 4 из них приведены в книге Джекобсона «Алгебры Ли».

Итак, доказывается следующая теорема:

Пусть D — невырожденное дифференцирование в конечномерной алгебре Ли Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{g}} над полем нулевой характеристики, то есть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D: \mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{g}}  — невырожденный линейный оператор (его ядро Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{Ker}(D) = 0} ) и

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D[\xi,\eta] = [D\xi,\eta]+[\xi, D\eta]}

Тогда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{g}} нильпотентна.

Основное поле можно считать алгебраически замкнутым (если это не выполнено, вложим его в алгебраическое замыкание и будем доказывать утверждение над ним).

Также будут использованы очевидные свойства присоединенного представления ad (adx(y) = [x, y]):

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{ad}_{[\xi,\eta]}=[\operatorname{ad}_{\xi},ad_{\eta}]}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [D, \operatorname{ad}_{\xi}]=\operatorname{ad}_{D\xi}}

Лемма 1. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (D-(\alpha+\beta))[\xi,\eta]=[(D-\alpha)\xi,\eta]+[\xi,(D-\beta)\eta]}

Лемма 2. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (D-(\alpha+\beta))^n[\xi,\eta]=\sum\limits_{k=0}^nC^k_n[(D-\alpha)^k\xi,\eta]+[\xi,(D-\beta)^{n-k}\eta]}  — аналог бинома Ньютона (n — любое натуральное число, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C^k_n}  — число сочетаний из n по k).

Лемма 3. Пусть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{g} = \bigoplus\limits_{\alpha}\mathfrak{g}_{\alpha}}  — корневое разложение относительно D. То есть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{g}_{\alpha}=\{\xi \in \mathfrak{g}|\exists k: (D-\alpha)^k\xi = 0\}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha \in \mathfrak{g}^*}  — корень, если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{g}_{\alpha} \ne \{0\}} . Тогда:

(i) если α + β — корень, то Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{g}_{\alpha}\mathfrak{g}_{\beta} \subseteq \mathfrak{g}_{\alpha+\beta}} ;
(ii) если α + β — не корень, то Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{g}_{\alpha}\mathfrak{g}_{\beta} = 0} .

(Следует из леммы 2).

Лемма 4. Определим линейный оператор S на Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{g}} , положив Sx = αx для Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in \mathfrak{g}_{\alpha}} (для каждого корня α). Тогда S — невырожденное дифференцирование на Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{g}} . Жорданов базис для D является базисом из собственных векторов для S.
Для дальнейшего зафиксируем такой базис {ei}, и имеем Sei = αiei.

Лемма 5. Если αi + αj ≠ 0, то форма Киллинга (ei, ej) = 0.
(Следует из того, что поскольку S — дифференцирование, то имеем (Sξ,η) + (ξ,Sη) = 0, далее полагаем ξ = ei, η = ej).

Лемма 6. Для любого i имеем, что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{ad}_{e_i}}  — нильпотентный линейный оператор (некоторая его степень равна 0).
(Следует из леммы 3).

Лемма 7. Если αi + αj = 0, то Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{ad}_{e_i}\operatorname{ad}_{e_j}=\operatorname{ad}_{e_j}\operatorname{ad}_{e_i}}  — нильпотентный линейный оператор (так как по лемме 3 [ei,ej] = 0).
Следовательно, форма Киллинга Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (e_i,e_j)=\operatorname{tr} \operatorname{ad}_{e_i}\operatorname{ad}_{e_j}=0} .

Лемма 8. Для любых Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi, \eta \in \mathfrak{g}} форма Киллинга (ξ,η) = 0.
(следует из разложения ξ и η по базису {ei}).

Следствие. Алгебра Ли Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{g}}  разрешима (по критерию Картана).

Лемма 9. Пусть δ — алгебра Ли внутренних дифференцирований алгебры Ли Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{g}} ; Δ = δ⊕<D> (внутреннее дифференцирование — дифференцирование вида adξ). Тогда коммутант Δ' = δ.

Лемма 10. Алгебра Ли δ разрешима (так как Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{g}} разрешима).

Лемма 11. Алгебра Ли Δ разрешима (так как Δ' = δ и δ разрешима). Следовательно, δ нильпотентна.

Лемма 12. Алгебра Ли Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{g}} нильпотентна.

Поле положительной характеристики[править]

В случае поля положительной характеристики существуют простые алгебры Ли с невырожден­ным дифференцированием, и они поддаются классификации.[2] Оказывается, что если характеристика поля p > 7, то таковыми алгебрами могут быть только некоторые простые специальные алгебры S(m:n;ω), n = (n1,…, nm), размерности (m-1)(pn−1), n = n1 + … + nm, и некоторые про­стые гамильтоновы алгебры H (m:n;ω) размерности pn−1.

Периодическое дифференцирование[править]

Любая конечномерная алгебра Ли с невырожденным дифференцированием допускает периодическое дифференци­рование (то есть такое дифференцирование, некоторая степень которого — тождественное преобразование).

Источники[править]

  1. ↑ Jacobson N. A note on automorphisms and derivations of Lie algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1955. Vol. 6. P. 281—283.
  2. ↑ Benkart G., Kostrikin A.I., Kuznetsov M. I. Finite-dimensional simple Lie algebras with a nonsingular derivation: Prepr. Univ. Wisconsin-Madison. Oct. 1993. P. 1-21

Литература[править]

  • Трофимов В. В. Задачи по теории групп ли и алгебр Ли — М.: МГУ, 1990.
  • Джекобсон Н. Алгебры Ли — М., 1964.
  • Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы I—III. М.: Мир, 1976.
  • Кострикин А. И., Кузнецов М. И. Два замечания об алгебрах Ли с невырожденным дифференцированием // Тр. МИАН, 1995, том 208, 186—192.
Источник — http://cyclowiki.org/w/index.php?title=Невырожденное_дифференцирование_в_конечномерной_алгебре_Ли&oldid=960277