Невырожденное дифференцирование в конечномерной алгебре Ли

Невырожденное дифференцирование в конечномерной алгебре Ли — дифференцирование D в алебре Ли ${\mathfrak {g}}$ такое, что если $x\neq 0$, то $Dx\neq 0$ (иными словами, $detD\neq 0$). Дифференцирование — это такое линейное отображение $D:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$, что

$D[\xi ,\eta ]=[D\xi ,\eta ]+[\xi ,D\eta ]$

Поле нулевой характеристики

В случае поля нулевой характеристики алгебра Ли с невырожденным дифференцированием нильпотентна. Утверждение было впервые по-видимому доказано Натаном Джекобсоном. Подобная задача есть в задачнике В. В. Трофимова по группам и алгебрам Ли. Нижеприведенное доказательство разбито на леммы, первые 4 из них приведены в книге Джекобсона «Алгебры Ли».

Итак, доказывается следующая теорема:

Пусть D — невырожденное дифференцирование в конечномерной алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$ над полем нулевой характеристики, то есть $D:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$ — невырожденный линейный оператор (его ядро $\operatorname {Ker} (D)=0$) и

$D[\xi ,\eta ]=[D\xi ,\eta ]+[\xi ,D\eta ]$

Тогда ${\mathfrak {g}}$ нильпотентна.

Основное поле можно считать алгебраически замкнутым (если это не выполнено, вложим его в алгебраическое замыкание и будем доказывать утверждение над ним).

Также будут использованы очевидные свойства присоединенного представления ad (ad_x(y) = [x, y]):

$\operatorname {ad} _{[\xi ,\eta ]}=[\operatorname {ad} _{\xi },ad_{\eta }]$

$[D,\operatorname {ad} _{\xi }]=\operatorname {ad} _{D\xi }$

Лемма 1. $(D-(\alpha +\beta ))[\xi ,\eta ]=[(D-\alpha )\xi ,\eta ]+[\xi ,(D-\beta )\eta ]$

Лемма 2. $(D-(\alpha +\beta ))^{n}[\xi ,\eta ]=\sum \limits _{k=0}^{n}C_{n}^{k}[(D-\alpha )^{k}\xi ,\eta ]+[\xi ,(D-\beta )^{n-k}\eta ]$ — аналог бинома Ньютона (n — любое натуральное число, $C_{n}^{k}$ — число сочетаний из n по k).

Лемма 3. Пусть ${\mathfrak {g}}=\bigoplus \limits _{\alpha }{\mathfrak {g}}_{\alpha }$ — корневое разложение относительно D. То есть ${\mathfrak {g}}_{\alpha }=\{\xi \in {\mathfrak {g}}|\exists k:(D-\alpha )^{k}\xi =0\}$, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha \in \mathfrak{g}^*}  — корень, если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{g}_{\alpha} \ne \{0\}} . Тогда:

(i) если α + β — корень, то Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{g}_{\alpha}\mathfrak{g}_{\beta} \subseteq \mathfrak{g}_{\alpha+\beta}} ;

(ii) если α + β — не корень, то Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{g}_{\alpha}\mathfrak{g}_{\beta} = 0} .

(Следует из леммы 2).

Лемма 4. Определим линейный оператор S на Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{g}} , положив Sx = αx для Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in \mathfrak{g}_{\alpha}} (для каждого корня α). Тогда S — невырожденное дифференцирование на Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{g}} . Жорданов базис для D является базисом из собственных векторов для S.
Для дальнейшего зафиксируем такой базис {e_i}, и имеем Se_i = α_ie_i.

Лемма 5. Если α_i + α_j ≠ 0, то форма Киллинга (e_i, e_j) = 0.
(Следует из того, что поскольку S — дифференцирование, то имеем (Sξ,η) + (ξ,Sη) = 0, далее полагаем ξ = e_i, η = e_j).

Лемма 6. Для любого i имеем, что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{ad}_{e_i}}  — нильпотентный линейный оператор (некоторая его степень равна 0).
(Следует из леммы 3).

Лемма 7. Если α_i + α_j = 0, то Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{ad}_{e_i}\operatorname{ad}_{e_j}=\operatorname{ad}_{e_j}\operatorname{ad}_{e_i}}  — нильпотентный линейный оператор (так как по лемме 3 [e_i,e_j] = 0).
Следовательно, форма Киллинга Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (e_i,e_j)=\operatorname{tr} \operatorname{ad}_{e_i}\operatorname{ad}_{e_j}=0} .

Лемма 8. Для любых Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi, \eta \in \mathfrak{g}} форма Киллинга (ξ,η) = 0.
(следует из разложения ξ и η по базису {e_i}).

Следствие. Алгебра Ли Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{g}}  разрешима (по критерию Картана).

Лемма 9. Пусть δ — алгебра Ли внутренних дифференцирований алгебры Ли Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{g}} ; Δ = δ⊕<D> (внутреннее дифференцирование — дифференцирование вида ad_ξ). Тогда коммутант Δ' = δ.

Лемма 10. Алгебра Ли δ разрешима (так как Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{g}} разрешима).

Лемма 11. Алгебра Ли Δ разрешима (так как Δ' = δ и δ разрешима). Следовательно, δ нильпотентна.

Лемма 12. Алгебра Ли Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{g}} нильпотентна.

Поле положительной характеристики

В случае поля положительной характеристики существуют простые алгебры Ли с невырожден­ным дифференцированием, и они поддаются классификации. Оказывается, что если характеристика поля p > 7, то таковыми алгебрами могут быть только некоторые простые специальные алгебры S(m:n;ω), n = (n₁,…, n_m), размерности (m-1)(pⁿ−1), n = n₁ + … + n_m, и некоторые про­стые гамильтоновы алгебры H (m:n;ω) размерности pⁿ−1.

Периодическое дифференцирование

Любая конечномерная алгебра Ли с невырожденным дифференцированием допускает периодическое дифференци­рование (то есть такое дифференцирование, некоторая степень которого — тождественное преобразование).

Литература

• Трофимов В. В. Задачи по теории групп ли и алгебр Ли — М.: МГУ, 1990.
• Джекобсон Н. Алгебры Ли — М., 1964.
• Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы I—III. М.: Мир, 1976.
• Кострикин А. И., Кузнецов М. И. Два замечания об алгебрах Ли с невырожденным дифференцированием // Тр. МИАН, 1995, том 208, 186—192.