Рациональные неравенства

Под рациональными неравенствами понимают те неравенства, которые содержат рациональные функции.

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_n(x) > 0} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_n(x) \geqslant 0} ; Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_n(x) < 0} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_n(x) \leqslant 0} .

Иными словами, такие неравенства могут иметь знаменатель.

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac {P_n(x)}{Q_m(x)}>0} ; Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac {P_n(x)}{Q_m(x)}\geqslant 0} ; Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac {P_n(x)}{Q_m(x)}\leqslant 0} ; Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac {P_n(x)}{Q_m(x)}<0} ;

Если неравенство не имеет знаменателя, то его называют целым, если же неравенство содержит знаменатель, то его называют дробно-рациональным.

Такие неравенства решаются методом интервалов. Так как дробно-рациональные неравенства содержат знаменатель, который не может обращаться в ноль, необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ).

Алгоритм решения неравенств методом интервалов

1. Необходимо найти ОДЗ. Если некоторый множитель находится в знаменателе, то он не может принимать нулевое значение.

2. Следующим шагом необходимо найти нули функции. Для этого функцию приравнивают к нулю.

3. Полученные значения следует нанести на числовую прямую. Если неравенство строгое или найденные нули функции не попадают в ОДЗ, точки наносятся пустыми («выколотыми») кружочками, что означает, что данное значение переменной не является решением неравенства. Если же неравенство не строгое, кружочки следует закрасить.

4. После нанесения точек на прямую необходимо определить знаки, которые принимает функция на каждом промежутке.

5. После этого все промежутки, удовлетворяющие знаку неравенства, следует записать в качестве решения с учётом крайних точек.

Для простоты определения знака на интервалах, рекомендуется использовать правило знакочередования. Если перед коэффициент перед старшим членом неравенства положителен, то необходимо чередовать интервалы справа налево, начиная с минуса. Если некоторый множитель имеет чётную степень, то знак на данном интервале не меняется.

Пример

Необходимо решить неравенство:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac {x^2+3} {2x^2-7x-4} > 0} ;

Решение:

1. Найдём корни квадратного трёхчлена, стоящего в знаменателе:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2x^2-7x-4 = 0;}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D=b^2-4ac=(-7)^2-4 \cdot 2 \cdot {(-4)}=49+32=81} ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_{1, 2}=\frac {-b \pm \sqrt D} {2a}=\frac {7 \pm 9} 4} ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1=-0,5} ; Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_2=4} ;

2. Перепишем неравенство в виде:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac {x^2+3} {(x+0,5)(x-4)} > 0} ;

Выражение в числителе Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x^2+3} положительно при любых Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} , следовательно знак неравенства зависит только от множителей в знаменателе. Запишем неравенство, равносильное исходному:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x+0,5)(x-4)>0} .

3. Изобразим найденные корни на числовой прямой и возьмём пробные точки на каждом из интервалов.

Файл:Решение рационального неравенства.png

Графическое изображение решения рационального неравенства

Исходное неравенство выполняется на интервалах Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (-\infty; -0,5)} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (4; +\infty)} . Эти интервалы и будут решением задачи.

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Рациональные неравенства», расположенная по адресу: — https://ru.ruwiki.ru/wiki/Рациональные_неравенства Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».