Тождество Эрмита в теории чисел

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Тождество Эрмита — тождество в элементарной теории чисел, описывающее свойство целой части числа.

Формулировка[править]

Для любого вещественного числа Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} и целого Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\geqslant 1} имеет место равенство

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lfloor mx\rfloor=\lfloor x\rfloor + \left\lfloor x +\frac{1}{m}\right\rfloor +\ldots + \left\lfloor x+\frac{m-1}{m}\right\rfloor}

(тождество Эрмита); здесь Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lfloor\cdot\rfloor} обозначает целую часть («пол»).

Это до некоторой степени удивительный результат, ибо функция пол является целочисленной аппроксимацией вещественнозначной величины — тем не менее, отдельное приближение слева равняется сумме их целой компании справа. Если считать, что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lfloor x\rfloor} — это, грубо говоря, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x-\frac{1}{2}} в среднем, то левая часть, грубо говоря, равна примерно Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle mx-\frac{1}{2}} , в то время как правая часть — это приблизительно Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left(x-\frac{1}{2}\right) + \left(x-\frac{1}{2}-\frac{1}{m}\right)+\ldots+\left(x-\frac{1}{2}+\frac{m-1}{m}\right)=mx-\frac{1}{2}} . Но сумма всех этих грубых приближений оказывается величиной точной!

Частным случаем тождества Эрмита является следующая формула разложения целого числа Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} (получаемая заменой Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} на Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{n}{m}} ):

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n=\left\lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n+1}{m}\right\rfloor + \ldots + \left\lfloor\frac{n+m-1}{m}\right\rfloor.\quad\quad\quad (*)}

Доказательства[править]

В своей оригинальной работе (1885)[2] для доказательства указанного тождества Ш. Эрмит использовал аппарат производящих функций. В дальнейшем были опубликованы многочисленные более простые доказательства, некоторые из которых приведены ниже.

Доказательство Штерна[править]

Следующее элементарное доказательство принадлежит М. А. Штерну (1886)[3]. Существует (однозначно определённое) целое Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k,\quad 0\leqslant k<m} , для которого выполнено двойное неравенство

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lfloor x\rfloor + \frac{k}{m}\leqslant x<\lfloor x\rfloor+\frac{k+1}{m}.\quad\quad\quad\quad(**)}

Умножая все части этого неравенства на Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} , получим

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\lfloor x\rfloor+k\leqslant mx<m\lfloor x\rfloor+k+1,}

откуда

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lfloor mx\rfloor=m\lfloor x\rfloor +k} .

Из Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (**)} также получим оценки

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x+\frac{m-k-1}{m}<\lfloor x\rfloor + \frac{k+1}{m}+\frac{m-k-1}{m} = \lfloor x\rfloor+1}

и

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lfloor x\rfloor+1 = \lfloor x\rfloor +\frac{k}{m}+ \frac{m-k}{m}\leqslant x + \frac{m-k}{m},}

то есть

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x+\frac{m-k-1}{m}<\lfloor x\rfloor+1\leqslant x+\frac{m-k}m.}

Отсюда сразу следует, что каждое из слагаемых

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lfloor x\rfloor, \left\lfloor x+\frac{1}{m}\right\rfloor, \ldots, \left\lfloor x+\frac{m-k-1}{m}\right\rfloor}

равно Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lfloor x\rfloor} , а каждое из слагаемых

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\lfloor x+\frac{m-k}{m}\right\rfloor, \left\lfloor x+\frac{m-k+1}{m}\right\rfloor, \ldots, \left\lfloor x+\frac{m-1}{m}\right\rfloor}

равно Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lfloor x\rfloor+1} . Поэтому сумма всех этих слагаемых равна

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (m-k)\lfloor x\rfloor + k(\lfloor x\rfloor +1)=m\lfloor x\rfloor+k=\lfloor mx\rfloor. }

Доказательство Пойа и Сегё[править]

Из равенства Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lfloor y + l\rfloor=\lfloor y\rfloor +l} , верного для произвольных Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\in\mathbb{R},\ l\in\mathbb{Z}} , следует, что для доказательства тождества Эрмита достаточно рассмотреть случай Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0\leqslant x<1} . Пусть (в этом предположении) целое Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} выбрано так, что

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x+\frac{k-1}{m}<1\leqslant x+\frac{k}{m}.\quad\quad\quad (***)}

Отсюда последовательно получаем:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle mx+(k-1)<m\leqslant mx+k,}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k-1<m-mx\leqslant k,}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -k\leqslant mx-m<-k+1,}

то есть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -k=\lfloor mx-m\rfloor=\lfloor mx\rfloor-m} и тогда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lfloor mx\rfloor=m-k} .

Из Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (***)} также сразу следует, что каждое из слагаемых

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lfloor x\rfloor, \left\lfloor x+\frac{1}{m}\right\rfloor, \ldots, \left\lfloor x+\frac{k-1}{m}\right\rfloor}

равно Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0} , а каждое из оставшихся слагаемых

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\lfloor x+\frac{k}{m}\right\rfloor, \left\lfloor x+\frac{k+1}{m}\right\rfloor, \ldots, \left\lfloor x+\frac{m-1}{m}\right\rfloor}

равно Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1} . Таким образом, обе части доказываемого равенства равны Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m-k} .

Это доказательство было опубликовано Д. Пойа и Г. Сегё в первом издании их знаменитого сборника задач и теорем из анализа (1925)[4].

Доказательство Мацуоки[править]

Следующее короткое доказательство, основанное на функциональном тождестве, принадлежит Ёсио Мацуоке (1964)[5]. Рассмотрим (для фиксированного Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} ) вещественную функцию

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x)=\lfloor mx\rfloor - \lfloor x\rfloor - \left\lfloor x+\frac{1}{m}\right\rfloor -\ldots - \left\lfloor x+\frac{m-1}{m}\right\rfloor.}

Тождество Эрмита будет установлено, если будет доказано, что эта функция тождественно равна нулю. Для любого Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\in\mathbb{R}} имеем

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f\left(x+\frac{1}{m}\right)=\lfloor mx+1\rfloor - \left\lfloor x+\frac{1}{m}\right\rfloor - \left\lfloor x +\frac{2}{m}\right\rfloor -\ldots - \left\lfloor x+\frac{m-1}{m}\right\rfloor-\lfloor x+1\rfloor=f(x)}

(поскольку Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lfloor mx+1\rfloor=\lfloor mx\rfloor} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lfloor x+1\rfloor=\lfloor x\rfloor} ). Вместе с тем, очевидно, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x)=0} при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0\leqslant x<\frac{1}{m}} . Поэтому Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x)=0} для всех Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\in\mathbb{R}} .

Доказательство с помощью формулы разложения целого числа[править]

Формулу разложения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (*)} легко доказать без применения тождества Эрмита — например, индукцией по Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} (формула верна для Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n=0} , и, если она верна для Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n\in\mathbb{Z}} , то верна и для Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n\pm 1} ), либо (что, по существу, то же самое) методом, аналогичным методу Мацуоки, описанным выше: рассмотреть, при фиксированном Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} , функцию, определённую для всех Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n\in\mathbb{Z}} равенством

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi(n) = n- \left\lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n+1}{m}\right\rfloor + \ldots + \left\lfloor\frac{n+m-1}{m}\right\rfloor,}

и заметить, что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi(0)=0} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi(n+1)=\varphi(n)} для всех Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n\in\mathbb{Z}} , откуда заключить, что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi(n)\equiv 0} .

Далее, тождество Эрмита можно вывести из формулы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (*)} , если в ней положить Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n=\lfloor mx\rfloor} и воспользоваться равенством[1]

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\lfloor\frac{\lfloor y\rfloor+k}{m}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{y+k}{m}\right\rfloor,}

верным для произвольных Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y\in\mathbb{R}} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k, m\in\mathbb{Z}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\geqslant 0} .

Источники[править]

  1. ↑ 1,0 1,1 Конкретная математика, 1998, с. 108.
  2. ↑ Hermite Ch. Sur quelques conséquences arithmétiques des formules de la théorie des fonctions elliptiques (Extrait du Bulletin de l’Acad. Sci. St. Pétersb. T. 29)фр. // Acta Math. — 1885. — том 5. — С. 297–330..
  3. ↑ Stern M. A. Sur un théorème de M. Hermite relatif à la fonction E(x)фр. // Acta Math. — 1886. — том 8. — С. 93–96..
  4. ↑ Pólya G., Szegö G. Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis. — Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. — Т. II: Functiontheorie, Nullstellen, Polynome, Determinanten, Zahlentheorie. — С. 118, 324. — (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Enzeldarstellungen; Bd. XX).; см. также русский перевод 3-го немецкого издания (1964): Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Ч. 2: Теория функций (специальная часть). Распределение нулей. Полиномы. Определители. Теория чисел. / Пер. с нем. Д. А. Райкова. — 3-е изд. — М.: Наука, 1978. — С. 131, 346. — 431 с.
  5. ↑ Matsuoka Y. On a Proof of Hermite's Identityангл. // The American Mathematical Monthly. — 1964. — В. 10. — том 71. — С. 1115. — DOI:10.2307/2311413 .

Литература[править]

Рувики

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Тождество Эрмита», расположенная по адресу:

—«https://ru.ruwiki.ru/wiki/Тождество_Эрмита»

Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий.

Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».

Источник — http://cyclowiki.org/w/index.php?title=Тождество_Эрмита_в_теории_чисел&oldid=2110657