Шён, Ричард

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Ричард Шён

англ. Richard Schoen






Род деятельности
математик
Место работы
Курантовский институт, Нью-Йоркский университет
Стэнфордский университет
Калифорнийский университет в Беркли
Калифорнийский университет в Ирвайне
Калифорнийский университет в Сан-Диего



Супруга
Дорис Фишер-Колбри

Награды и премии

Стипендия Национального научного фонда для аспирантов (1972)
Стипендия Слоуна (1979)[1]
Стипендия Мак-Артура (1983)[2]
Американская академия искусств и наук (1988)[3]
Мемориальная премия Бохера (1989)[4]
Национальная академия наук США (1991)[5]
Член Американской ассоциации содействия развитию науки (1995)
Стипендия Гуггенхайма (1996)
Член Американского математического общества (2012)[6]
Премия декана за преподавание, Стэнфордский университет (2014–15)
Почётный доктор наук, Уорикский университет (2015)[7][8]
Премия Вольфа (2017)
Премия Хайнца Хопфа (2017)[9]
Медаль имени Н. И. Лобачевского (2017)[10]
Премия Рольфа Шока (2017)[11]

Ри́чард Ме́лвин Шён (англ. Richard Melvin Schoen; [Нет даты!]) — американский математик. Известен работами в области дифференциальной геометрии и геометрического анализа, в частности решением проблемы Ямабе в 1984 году и исследованиями гармонических отображений.

Биография[править]

Шён родился в Селайне, штат Огайо. В 1968 году окончил среднюю школу Форт-Рекавери. Получил степень бакалавра наук по математике в Дейтонском университете. В 1977 году получил степень доктора философии в Стэнфордском университете под руководством Леона Саймона и Шинтуна Яу[12].

Карьера[править]

После работы на факультетах Курантовского института Нью-Йоркского университета, Калифорнийского университета в Беркли и Калифорнийского университета в Сан-Диего, Шён был профессором Стэнфордского университета с 1987 по 2014 год, а с 1992 года — профессором гуманитарных и естественных наук имени Басса. В настоящее время является заслуженным профессором и заведующим кафедрой передового опыта в преподавании в Калифорнийском университете в Ирвайне[13].

Шён получил стипендию Национального научного фонда для аспирантов в 1972 году и стипендию Слоуна в 1979 году[1]. В 1983 году стал стипендиатом программы Мак-Артура[2]. Трижды приглашался выступить на Международном конгрессе математиков, в том числе дважды в качестве пленарного докладчика[14]. В 1983 году был приглашённым докладчиком на конгрессе в Варшаве, в 1986 году — пленарным докладчиком в Беркли, а в 2010 году — пленарным докладчиком в Хайдарабаде. За работу над проблемой Ямабе Шён был удостоен Мемориальной премии Бохера в 1989 году[4].

В 1988 году был избран в Американскую академию искусств и наук, в 1991 году — в Национальную академию наук США, в 1995 году стал членом Американской ассоциации содействия развитию науки, а в 1996 году получил стипендию Гуггенхайма[3][5]. В 2012 году стал членом Американского математического общества[6]. Получил премию декана за жизненные достижения в преподавании от Стэнфордского университета за 2014–2015 годы. В 2015 году был избран вице-президентом Американского математического общества[15]. В 2015 году Уорикский университет присвоил ему степень почётного доктора наук[16]. В 2017 году получил премию Вольфа по математике совместно с Чарльзом Фефферманом. В том же году был удостоен премии Хайнца Хопфа, медали и премии Лобачевского от Казанского федерального университета и премии Рольфа Шока[17][18][19].

Под его руководством защитили диссертации более 44 студентов, включая Хьюберта Брея, Хосе Ф. Эскобара, Айлану Фрейзер, Чикако Месе, Уильям Миникоцци и Андре Невиша[20].

Шён исследовал применение аналитических методов в глобальной дифференциальной геометрии, внёс фундаментальный вклад в теорию регулярности минимальных поверхностей и гармонических отображений.

Гармонические отображения[править]

В 1976 году Шён и Яу Шинтун использовали теоремы Лиувилля, ранее доказанные Яу, для распространения явлений жёсткости, обнаруженных Джеймсом Иллсом и Джозефом Сэмпсоном, на некомпактные случаи[21][22]. Выявив определённое взаимодействие тождества Бохнера для гармонических отображений с формулой второй вариации площади для минимальных гиперповерхностей, они также определили новые условия на область определения, ведущие к тому же выводу. Эти теоремы жёсткости дополняются их теоремой существования гармонических отображений на некомпактных областях, которая является простым следствием решения краевой задачи Дирихле Ричардом Гамильтоном[23]. В результате они получили геометрические результаты, например, что некоторые некомпактные многообразия не допускают полных метрик с неотрицательной кривизной Риччи.

В двух статьях 1980-х годов Шён и Карен Уленбек внесли фундаментальный вклад в теорию регулярности минимизирующих энергию гармонических отображений. Разработанные ими методы, широко использующие формулы монотонности, оказали влияние на геометрический анализ и были адаптированы для ряда других задач. Их фундаментальные выводы включают теоремы компактности для множеств гармонических отображений и контроль над размером соответствующих сингулярных множеств. Леон Саймон применил эти результаты для получения чёткой картины мелкомасштабной геометрии минимизирующих энергию гармонических отображений[24].

Позже Михаил Громов предположил, что расширение теории гармонических отображений, допускающее значения в метрических пространствах, а не в римановых многообразиях, будет иметь ряд важных приложений, а аналоги классической теоремы жёсткости Иллса-Сэмпсона дадут новые теоремы жёсткости для решёток. Интенсивные аналитические детали такой теории были разработаны Шёном. Дальнейшие основы этого нового контекста для гармонических отображений были заложены Шёном и Николасом Коревааром.

Минимальные поверхности, положительная скалярная кривизна и теорема о положительной массе[править]

В 1979 году Шён и его бывший научный руководитель Яу Шинтун внесли вклад в изучение положительной скалярной кривизны. С помощью элементарной, но новой комбинации уравнения Гаусса, формулы для второй вариации площади и теоремы Гаусса — Бонне, Шён и Яу смогли исключить существование нескольких типов стабильных минимальных поверхностей в трёхмерных многообразиях с положительной скалярной кривизной. Сопоставив этот результат со своей аналитически глубокой теоремой, устанавливающей существование таких поверхностей, они смогли получить ограничения на то, какие многообразия могут допускать метрику с положительной скалярной кривизной. Шён и Дорис Фишер-Колбри позже предприняли более широкое исследование стабильных минимальных поверхностей в трёхмерных многообразиях, используя анализ оператора устойчивости и его спектральных свойств.

Индуктивный аргумент, основанный на существовании стабильных минимальных гиперповерхностей, позволил им распространить свои результаты на более высокие размерности. Дальнейшие аналитические методы способствовали применению топологических перестроек на многообразиях, допускающих метрики с положительной скалярной кривизной, показав, что класс таких многообразий топологически богат. Михаил Громов и Блейн Лоусон получили аналогичные результаты другими методами, также предприняв более глубокий анализ топологических последствий[25][26].

Расширив свои методы на некомпактные многообразия, Шён и Яу смогли решить важный риманов случай теоремы о положительной массе в общей теории относительности, который можно рассматривать как утверждение о геометрическом поведении вблизи бесконечности некомпактных многообразий с положительной скалярной кривизной. Как и их первоначальные результаты, аргумент основан на противоречии. Более конструктивный аргумент, использующий теорию гармонических спиноров вместо минимальных гиперповерхностей, был позже найден Эдвардом Виттеном[27][28][29].

Шён, Яу и Леон Саймон определили простую комбинацию формулы Саймонса с формулой для второй вариации площади, которая даёт важные оценки кривизны для стабильных минимальных гиперповерхностей малых размерностей. В 1983 году Шён получил аналогичные оценки в частном случае двумерных поверхностей, используя существование изотермических координат. Несколько более слабые оценки были получены Шёном и Саймоном, хотя и без каких-либо ограничений на размерность. Фундаментальные следствия оценок Шёна-Саймона включают теоремы компактности для стабильных минимальных гиперповерхностей, а также контроль над размером «сингулярных множеств». В частности, оценки Шёна-Саймона являются важным инструментом в теории минимакса Альмгрена — Питтса, которая нашла ряд применений.

Возможное присутствие сингулярных множеств ограничивает размерности, в которых индуктивные аргументы Шёна и Яу могут быть легко применены. Между тем, существенное использование спиноров Виттеном ограничивает его результаты топологически особыми случаями. Таким образом, общий случай теоремы о положительной массе в высших размерностях оставался крупной открытой проблемой в работе Шёна и Яу 1979 года. В 1988 году они решили проблему в произвольной размерности в частном случае, когда тензор Вейля равен нулю; это имело значение в конформной геометрии. В 2017 году они выпустили препринт, в котором утверждается общий случай, в котором они непосредственно работают с сингулярными множествами минимальных гиперповерхностей.

Проблема Ямабе и конформная геометрия[править]

В 1960 году Хидэхико Ямабэ ввёл «функционал Ямабе» на конформном классе римановых метрик и продемонстрировал, что критическая точка будет иметь постоянную скалярную кривизну[30]. Он добился частичного прогресса в доказательстве того, что критические точки должны существовать, что было продолжено Нилом Трудингером и Тьерри Обеном[31][32]. Работа Обена, в частности, решила случаи высокой размерности или когда существует точка, где тензор Вейля не равен нулю. В 1984 году Шён решил случаи, оставленные открытыми работой Обена, решающим моментом которой было масштабирование метрики с помощью функции Грина оператора Лапласа — Бельтрами. Это позволило применить теорему Шёна и Яу о положительной массе к полученной метрике, дав важную асимптотическую информацию об исходной метрике. Работы Ямабе, Трудингера, Обена и Шёна вместе составляют решение проблемы Ямабе, которая утверждает, что в каждом конформном классе существует метрика постоянной скалярной кривизны.

В 1989 году Шён также смог адаптировать анализ пузырей Карен Уленбек, разработанный для других геометрико-аналитических задач, к условиям постоянной скалярной кривизны[33][34]. Уникальность критических точек функционала Ямабе и, в более общем смысле, компактность множества всех критических точек — тонкий вопрос, впервые исследованный Шёном в 1991 году. Более полные результаты были позже получены Саймоном Брендле, Маркусом Хури, Фернанду Кода Маркишем и Шёном.

Теорема о дифференцируемой сфере[править]

В 1980-х годах Ричард Гамильтон ввёл поток Риччи и доказал ряд результатов о сходимости, в первую очередь для двумерных и трёхмерных пространств[35][36]. Хотя он и другие исследователи получили частичные результаты в высоких размерностях, прогресс был затруднён сложностью понимания сложного тензора кривизны Римана[37]. Саймон Брендле и Шён смогли доказать, что положительность «изотропной кривизны» Марио Микаллефа и Джона Мура сохраняется потоком Риччи в любой размерности, факт, независимо доказанный Хюи Нгуеном[38][39]. Брендле и Шён смогли связать своё условие положительности с положительностью секционной кривизны и оператора кривизны, что позволило им использовать алгебраические идеи Кристофа Бёма и Буркхарда Уилкинга, получив тем самым новую теорему сходимости для потока Риччи[40]. Частным случаем их теоремы сходимости является теорема о дифференцируемой сфере, которая была известной гипотезой в изучении положительной секционной кривизны на протяжении последних пятидесяти лет.

Публикации[править]

  • Schoen Richard Estimates for stable minimal surfaces in three-dimensional manifolds. — Seminar on minimal submanifolds. — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1983. — Т. 103. — С. 111–126. — ISBN 0-691-08324-X. — DOI:10.1515/9781400881437-006
  • Schoen Richard M. Analytic aspects of the harmonic map problem. — Seminar on nonlinear partial differential equations. — New York: Springer-Verlag, 1984. — Т. 2. — С. 321–358. — ISBN 0-387-96079-1. — DOI:10.1007/978-1-4612-1110-5_17
  • Schoen Richard M. Variational theory for the total scalar curvature functional for Riemannian metrics and related topics. — Topics in calculus of variations. — Berlin: Springer, 1989. — Т. 1365. — С. 120–154. — ISBN 3-540-50727-2. — DOI:10.1007/BFb0089180
  • Schoen Richard M. On the number of constant scalar curvature metrics in a conformal class. — Differential geometry. — Harlow: Longman Scientific and Technical, 1991. — Т. 52. — С. 311–320. — ISBN 0-582-05590-3.
  • Schoen R., Yau S.-T. Lectures on differential geometry. — Cambridge, MA: International Press, 1994. — Т. 1. — ISBN 1-57146-012-8.
  • Schoen R., Yau S. T. Lectures on harmonic maps. — Cambridge, MA: International Press, 1997. — Т. 2. — ISBN 1-57146-002-0.

Примечания[править]

  1. ↑ 1,0 1,1 Fellows Database. sloan.org. Проверено 18 июня 2026.
  2. ↑ 2,0 2,1 Richard M. Schoen. www.macfound.org. Проверено 18 июня 2026.
  3. ↑ 3,0 3,1 Richard Melvin Schoen. American Academy of Arts & Sciences. Проверено 18 июня 2026.
  4. ↑ 4,0 4,1 Browse Prizes and Awards. American Mathematical Society. Проверено 18 июня 2026.
  5. ↑ 5,0 5,1 Richard M. Schoen. www.nasonline.org. Проверено 18 июня 2026.
  6. ↑ 6,0 6,1 List of Fellows of the American Mathematical Society, retrieved 2013-07-14.
  7. ↑ Warwick to honour Nobel Laureates, leading film director, journalist, both CBI & TUC heads, Indonesian author, travel guru and British Library Chief. warwick.ac.uk. Проверено 18 июня 2026.
  8. ↑ List of all Honorary Graduates and Chancellor's Medallists. warwick.ac.uk. Проверено 18 июня 2026.
  9. ↑ Heinz Hopf Prize and Lectures. math.ethz.ch. Проверено 18 июня 2026.
  10. ↑ Richard Schoen Announced as the Winner of the 2017 Lobachevsky Medal and Prize.
  11. ↑ Rolf Schockprisen. Kungl. Vetenskapsakademien. Проверено 18 июня 2026.
  12. ↑ Шён, Ричардангл. в проекте «Математическая генеалогия»
  13. ↑ Richard Schoen | UCI Mathematics. www.math.uci.edu. Проверено 18 июня 2026.
  14. ↑ ICM Plenary and Invited Speakers | International Mathematical Union (IMU). www.mathunion.org. Проверено 18 июня 2026.
  15. ↑ AMS Committees. American Mathematical Society. Проверено 18 июня 2026.
  16. ↑ Honorary Graduand Orations – Summer 2015. warwick.ac.uk. Проверено 18 июня 2026.
  17. ↑ Laureate 2017. math.ethz.ch. Проверено 18 июня 2026.
  18. ↑ Announced the name of the laureate of the N.I. Lobachevsky medal and prize – Medal of N. I. Lobachevsky. Медаль им. Н.И. Лобачевского (1950-10-23). Архивировано из первоисточника 24 октября 2022.[недоступная ссылка] Проверено 20 ноября 2022.
  19. ↑ Rolf Schock Prize Citation for Richard Schoen. Архивировано из первоисточника 1 апреля 2022.[недоступная ссылка] Проверено 19 марта 2022.
  20. ↑ Richard Schoen – The Mathematics Genealogy Project. www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu. Проверено 18 июня 2026.
  21. ↑ Yau, Shing Tung. Some function-theoretic properties of complete Riemannian manifold and their applications to geometry. Indiana Univ. Math. J. 25 (1976), no. 7, 659–670.
  22. ↑ Eells, James, Jr.; Sampson, J. H. Harmonic mappings of Riemannian manifolds. Amer. J. Math. 86 (1964), 109–160.
  23. ↑ Hamilton, Richard S. Harmonic maps of manifolds with boundary. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 471. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1975. i+168 pp.
  24. ↑ Simon, Leon. Asymptotics for a class of nonlinear evolution equations, with applications to geometric problems. Ann. of Math. (2) 118 (1983), no. 3, 525–571.
  25. ↑ Gromov, Mikhael; Lawson, H. Blaine, Jr. The classification of simply connected manifolds of positive scalar curvature. Ann. of Math. (2) 111 (1980), no. 3, 423–434.
  26. ↑ Gromov, Mikhael; Lawson, H. Blaine, Jr. Positive scalar curvature and the Dirac operator on complete Riemannian manifolds. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 58 (1983), 83–196.
  27. ↑ Witten, Edward A new proof of the positive energy theorem. Comm. Math. Phys. 80 (1981), no. 3, 381–402.
  28. ↑ Lee, John M.; Parker, Thomas H. The Yamabe problem. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 17 (1987), no. 1, 37–91.
  29. ↑ Bartnik, Robert. The mass of an asymptotically flat manifold. Comm. Pure Appl. Math. 39 (1986), no. 5, 661–693.
  30. ↑ Yamabe, Hidehiko. On a deformation of Riemannian structures on compact manifolds. Osaka Math. J. 12 (1960), 21–37.
  31. ↑ Trudinger, Neil S. Remarks concerning the conformal deformation of Riemannian structures on compact manifolds. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (3) 22 (1968), 265–274.
  32. ↑ Aubin, Thierry. Équations différentielles non linéaires et problème de Yamabe concernant la courbure scalaire. J. Math. Pures Appl. (9) 55 (1976), no. 3, 269–296.
  33. ↑ Sacks, J.; Uhlenbeck, K. The existence of minimal immersions of 2-spheres. Ann. of Math. (2) 113 (1981), no. 1, 1–24.
  34. ↑ Uhlenbeck, Karen K. Connections with Lp bounds on curvature. Comm. Math. Phys. 83 (1982), no. 1, 31–42.
  35. ↑ Hamilton, Richard S. Three-manifolds with positive Ricci curvature. J. Differential Geometry 17 (1982), no. 2, 255–306.
  36. ↑ Hamilton, Richard S. The Ricci flow on surfaces. Mathematics and general relativity (Santa Cruz, CA, 1986), 237–262, Contemp. Math., 71, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1988.
  37. ↑ Hamilton, Richard S. Four-manifolds with positive curvature operator. J. Differential Geom. 24 (1986), no. 2, 153–179.
  38. ↑ Micallef, Mario J.; Moore, John Douglas. Minimal two-spheres and the topology of manifolds with positive curvature on totally isotropic two-planes. Ann. of Math. (2) 127 (1988), no. 1, 199–227.
  39. ↑ Nguyen, Huy T. Isotropic curvature and the Ricci flow. Int. Math. Res. Not. IMRN 2010, no. 3, 536–558.
  40. ↑ Böhm, Christoph; Wilking, Burkhard. Manifolds with positive curvature operators are space forms. Ann. of Math. (2) 167 (2008), no. 3, 1079–1097.

Ссылки[править]

Рувики

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Шён, Ричард», расположенная по адресу:

—https://ru.ruwiki.ru/wiki/Шён,_Ричард

Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий.

Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».

Источник — http://cyclowiki.org/w/index.php?title=Шён,_Ричард&oldid=2680727