Вторая теорема разложения

Вторая теорема разложения в операционном исчислении сводит нахождение оригинала по изображению к нахождению вычетов в особых точках.

Теорема[править]

Если $F(p)={\frac {F_{1}(p)}{F_{2}(p)}}$ — правильная рациональная функция и $F_{2}(p)=(p-p_{1})^{m_{1}}(p-p_{2})^{m_{2}}\ldots (p-p_{l})^{m_{l}}$ , то оригинал можно найти по формуле

$f(t)=\sum _{k=1}^{l}\sum _{v=1}^{m_{k}}{\frac {A_{kv}}{(m_{k}-v)!}}t^{m_{k}-v}e^{p_{k}t},\quad t>0$

где

$A_{kv}={\frac {1}{(v-1)!}}\lim _{p\to p_{k}}{\frac {d^{v-1}}{dp^{v-1}}}\left((p-p_{k})^{m_{k}}F(p)\right)$

В частности, если все корни знаменателя простые (не кратные) и $F_{2}(p)=(p-p_{1})...(p-p_{n})$ , то

$f(t)=\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {F_{1}(p_{k})}{F_{2}'(p_{k})}}e^{p_{k}t}$

Примеры[править]

Приведём несколько примеров применения теоремы о разложении.

Случай простых полюсов[править]

Пусть функция $F(p)={\frac {1}{p(p-a)(p-b)}}$ . Очевидно, что функция имеет полюса первого порядка в точках $p_{1}=0$ , $p_{2}=a$ и $p_{3}=b$ Тогда её оригинал представим в виде $f(t)=A_{1}\cdot e^{0t}+A_{2}\cdot e^{at}+A_{3}\cdot e^{bt}$ .

Найдём соответствующие $A_{1}$ , $A_{2}$ и $A_{3}$ . Для этого вычислим производную знаменателя функции $F_{2}^{\prime }(p)=3p^{2}-2bp-2ap+ab$ . В соответствии с вышесказанным $A_{1}={\frac {F_{1}(p_{1})}{F_{2}^{\prime }(p_{1})}}={\frac {F_{1}(0)}{F_{2}^{\prime }(0)}}={\frac {1}{ab}}$ . Аналогично $A_{2}={\frac {1}{a^{2}-ab}}$ и $A_{3}={\frac {1}{b^{2}-ab}}$ .

Окончательно, оригинал функции $F(p)={\frac {1}{p(p-a)(p-b)}}$ равен $f(t)={\frac {1}{ab}}+{\frac {1}{a^{2}-ab}}e^{at}+{\frac {1}{b^{2}-ab}}e^{bt}$ .

Случай кратных полюсов[править]

Пусть функция $F(p)={\frac {p+a}{p(p+b)^{2}}}$ . Функция имеет полюс первого порядка при $p_{1}=0$ и полюс второго порядка в точке $p_{2}=-b$ . Следовательно оригинал должен иметь вид $f(t)=A_{1}\cdot e^{0t}+A_{21}\cdot te^{-bt}+A_{22}\cdot e^{-bt}$ .

Следует отметить коэффициенты $A_{kv}=A_{k}$ для полюсов первого порядка можно по-прежнему искать вычисляя производную: $F_{2}^{\prime }(p)=3p^{2}+4bp+b^{2}$ . Таким образом $A_{1}={\frac {a}{b^{2}}}$ .

Пусть теперь $A_{2}(p)=(p+b)^{2}\cdot F(p)={\frac {p+a}{p}}$ (это соответствует выражению под знаком предела в общей формуле). Тогда $A_{21}={\frac {1}{0!}}\lim _{p\to -b}A^{(0)}(p)=-{\frac {a-b}{b}}$ и $A_{22}={\frac {1}{1!}}\lim _{p\to -b}A^{(1)}(p)=-{\frac {a}{b^{2}}}$ , где $A^{(1)}(p)={\frac {dA(p)}{dp}}=-{\frac {a}{p^{2}}}$ .