Гармонические электромагнитные колебания

Графики функций f(x) = sin(x) (красная линия) и g(x) = cos(x) (зелёная линия) в декартовой системе координат. По оси абсцисс отложены значения полной фазы.

Гармонические электромагнитные колебания — электромагнитные колебания, для которых величина, характеризующая колебание, изменяется по закону cos или sin.

Общая информация

При гармони́ческих электромагни́тных колеба́ниях в электрической цепи заряд, сила тока и напряжение изменяются с течением времени по гармоническому (то есть синусоидальному или косинусоидальному) закону.

В общем виде уравнение гармонического колебания имеет вид

$x(t)=A\sin(\omega t+\varphi _{0})$

или

$x(t)=A\cos(\omega t+\varphi _{0})$,

где

• х — отклонение колеблющейся величины в текущий момент времени t от среднего за период значения (например, в кинематике — смещение, отклонение колеблющейся точки от положения равновесия);
• А — амплитуда колебания, то есть максимальное за период отклонение колеблющейся величины от среднего за период значения, размерность A совпадает с размерностью x;
• ω (радиан/с, градус/с) — циклическая частота, показывающая, на сколько радиан (градусов) изменяется фаза колебания за 1 с;
• $(\omega t+\varphi _{0})=\varphi$ (радиан, градус) — полная фаза колебания (сокращённо — фаза, не путать с начальной фазой);
• $\varphi _{0}$ (радиан, градус) — начальная фаза колебаний, которая определяет значение полной фазы колебания (и самой величины x) в момент времени t = 0.

Дифференциальное уравнение, описывающее гармонические колебания, имеет вид

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}x=0.$

Любое нетривиальное решение этого дифференциального уравнения — гармоническое колебание с циклической частотой $\omega .$

Колебательный контур

Параллельный колебательный контур

Типичной системой, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания (при отсутствии в ней источника электрической энергии), является колеба́тельный ко́нтур — электрическая цепь, содержащая катушку индуктивности, конденсатор и, в общем виде, эта цепь подключается к источнику электрической энергии. При последовательном соединении элементов цепи колебательный контур называется последовательным, при параллельном — параллельным.

Пусть конденсатор ёмкостью C заряжен до напряжения $U_{0}$. Энергия, запасённая в конденсаторе, составляет

$E_{C}={\frac {CU_{0}^{2}}{2}}.$

При соединении конденсатора с катушкой индуктивности в цепи потечёт ток $I$, что вызовет в катушке электродвижущую силу (ЭДС) самоиндукции, направленную на уменьшение тока в цепи. Ток, вызванный этой ЭДС (при отсутствии потерь в индуктивности), в начальный момент будет равен току разряда конденсатора, то есть результирующий ток будет равен нулю. Магнитная энергия катушки в этот (начальный) момент равна нулю.

Затем результирующий ток в цепи будет возрастать, а энергия из конденсатора будет переходить в катушку до полного разряда конденсатора. В этот момент электрическая энергия конденсатора $E_{C}=0$. Магнитная же энергия, сосредоточенная в катушке, напротив, максимальна и равна

$E_{L}={\frac {LI_{0}^{2}}{2}},$

где $L$ — индуктивность катушки, $I_{0}$ — максимальное значение тока.

После этого начнётся перезарядка конденсатора, то есть зарядка конденсатора напряжением другой полярности. Перезарядка будет проходить до тех пор, пока магнитная энергия катушки не перейдёт в электрическую энергию конденсатора. Конденсатор в этом случае снова будет заряжен до напряжения $-U_{0}$.

В результате в цепи возникают колебания. Частота этих колебаний $\omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$ называется собственной частотой колебательного контура (собственной частотой гармонического осциллятора).

Уравнение для силы тока имеет следующий вид:

$I(t)=I_{a}\sin({\omega }t+\varphi ),$

где $I_{a}$ — некая постоянная, определяемая начальными условиями, называемая амплитудой колебаний, $\varphi$ — также некоторая постоянная, зависящая от начальных условий, называемая начальной фазой.

В реальном колебательном контуре существуют потери энергии (на излучение и нагрев проводников), поэтому без подпитки энергией колебания будут не гармоническими, а затухающими со временем.

Электрическая цепь гармонического переменного тока

Действующее (эффективное) значение $I_{d}$ переменного тока равно величине такого постоянного тока, который за время, равное одному периоду переменного тока, произведёт такую же работу (тепловой или электродинамический эффект), что и рассматриваемый переменный ток.

Аналогично определяется и действующее значение напряжения $U_{d}$.

В случае гармонических колебаний тока связь амплитуд и действующих значений тока и напряжения имеет вид:

$I_{d}={\frac {I_{0}}{\sqrt {2}}}$, $U_{d}={\frac {U_{0}}{\sqrt {2}}}$

Закон Ома справедлив для мгновенных значений переменного тока.

Активное сопротивление. Обычное сопротивление в цепи переменного тока ведёт себя так же, как и в цепи постоянного тока — на нём создаётся падение напряжения, и электрическая энергия переходит в джоулево тепло. Такое сопротивление называется активным.

Колебания напряжения и силы тока совпадают по фазе. Если $u=U_{0}\cos \omega t$, то $i=I_{0}\cos \omega t$.

Средняя за период мощность переменного тока, выделяющаяся на активном сопротивлении: $P={\frac {I_{0}U_{0}}{2}}$

Индуктивное сопротивление. В катушке индуктивности в цепи переменного тока вследствие электромагнитной индукции наводится ЭДС, препятствующая изменению тока в цепи. Поэтому индуктивность сглаживает резкие изменения тока. Таким образом, чем больше частота тока, тем большим сопротивлением обладает данная катушка.

Для постоянного тока катушка не является сопротивлением. Колебания напряжения опережают по фазе колебания силы тока на четверть периода. Если $i=I_{0}\cos \omega t$, то

$u=U_{0}\cos(\omega t+{\frac {\pi }{2}})=-U_{0}\sin \omega t$,

Связь между амплитудами: $I_{0}={\frac {U_{0}}{X_{L}}}$, где $X_{L}=\omega L$ — индуктивное сопротивление.

Ёмкостное сопротивление. Конденсатор не проводит постоянный ток. Для переменного тока конденсатор является сопротивлением, в том смысле, что он влияет на связь между амплитудами тока и напряжения в цепи. Это влияние обусловлено ЭДС, возникающей на конденсаторе при его зарядке.

Колебания напряжения отстают по фазе от колебаний силы тока на четверть периода. Если $i=I_{0}\cos \omega t$, то

$u=U_{0}\cos(\omega t-{\frac {\pi }{2}})=U_{0}\sin \omega t$

Связь между амплитудами: $I_{0}={\frac {U_{0}}{X_{C}}}$, где $X_{C}={\frac {1}{\omega C}}$ — ёмкостное сопротивление.

Индуктивное и ёмкостное сопротивления носят названия «реактивные сопротивления».

Таким образом, полное сопротивление цепи переменного тока включает в себя активные и реактивные сопротивления и зависит от частоты:

$Z={\sqrt {R^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}}$, где $R$ — активное сопротивление,

$X_{L}=\omega L$, $X_{C}={\frac {1}{\omega C}}$ — реактивное сопротивление.

Источники

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Гармонические электромагнитные колебания», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Гармонические_электромагнитные_колебания» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».