Длина дуги винтовой линии

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Формула

Длина дуги винтовой линии — это число, характеризующее протяжённость дуги винтовой линии в единицах измерения длины.

Винтовая линия — это пространственная линия, описываемая точкой, исходящей из начальной точки цилиндрической поверхности, при движении точки по цилиндрической поверхности в направлении против часовой стрелки.

Рассмотрим дуги винтовой линии, исходящей из точки (a; 0; 0).

Содержание

[править] Обозначения

Введём обозначения:

x1 — абсцисса первой точки дуги;

y1 — ордината первой точки дуги;

z1 — аппликата первой точки дуги;

t1 — параметр (меньший) первой точки дуги;

x2 — абсцисса второй точки дуги;

y2 — ордината второй точки дуги;

z2 — аппликата второй точки дуги;

t2 — параметр (больший) второй точки дуги;

a — радиус цилиндрической поверхности;

2πb — шаг винтовой линии;

M = (x; y; z) — точка винтовой линии;

M0 = (a; 0; 0) — начальная точка винтовой линии;

t — параметрическая переменная;

x = acost — параметрическое уравнение абсциссы винтовой линии;

y = asint — параметрическое уравнение ординаты винтовой линии;

z = bt — параметрическое уравнение аппликаты винтовой линии;

Lдуг.винт.лин — длина дуги винтовой линии.

[править] Формула

[math]L_\text{дуг.винт.лин}=\sqrt{a^2+b^2}(t_2-t_1)[/math]
  • Заметим, что длина одного витка винтовой линии равна L1вит.винт.лин = 2π(a2 + b2)0,5.

[править] Вывод формулы

[math]L_\text{дуг.винт.лин}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left[(a\cos t)'_t\right]^2+\left[(a\sin t)'_t\right]^2+\left[(bt)'_t\right]^2}dt=[/math]
[math]=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{(-a\sin t)^2+(a\cos t)^2+b^2}dt=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{a^2+b^2}dt=\left.\sqrt{a^2+b^2}t\right|_{t_1}^{t_2}=[/math]
[math]=\sqrt{a^2+b^2}(t_2-t_1) \Rightarrow L_\text{дуг.винт.лин}=\sqrt{a^2+b^2}(t_2-t_1)[/math]

[править] Литература

  • Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике — М.: Наука, 1964, стр.511.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты