Длина дуги трёхмерной кривой

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Дифференциальная геометрия / кривая в пространстве / общие разговоры // Павел Шестопалов [3:01]

Длина дуги трёхмерной кривой — это числовая характеристика протяжённости дуги кривой в единицах измерения длины.

Содержание

[править] Обозначения

Введём обозначения:

x1 — абсцисса первой точки дуги;

y1 — ордината первой точки дуги;

z1 — аппликата первой точки дуги;

t1 — параметр (меньший) первой точки дуги;

x2 — абсцисса второй точки дуги;

y2 — ордината второй точки дуги;

z2 — аппликата второй точки дуги;

t2 — параметр (больший) второй точки дуги;

M = (x, y, z) — точка трёхмерной кривой;

t — параметрическая переменная;

x = x(t) — параметрическое уравнение абсциссы трёхмерной кривой;

y = y(t) — параметрическое уравнение ординаты трёхмерной кривой;

z = z(t) — параметрическое уравнение аппликаты трёхмерной кривой;

Lдуги — длина дуги трёхмерной кривой.

[править] Формулы:

[править] Прямоугольная система координат

Длина дуги трёхмерной кривой, заданной системой уравнений y = y(x), z = z(x) или x = x(y), z = z(y) или x = x(z), y = y(z), считается по соответствующим формулам:

[math]L_{\text{дуги}}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left[y'_x(x)\right]^2+\left[z'_x(x)\right]^2}dx \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left[\frac{dy(x)}{dx}\right]^2+\left[\frac{dz(x)}{dx}\right]^2}dx[/math]
[math]L_{\text{дуги}}=\int\limits_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\left[x'_y(y)\right]^2+\left[z'_y(y)\right]^2}dy \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\left[\frac{dx(y)}{dy}\right]^2+\left[\frac{dz(y)}{dy}\right]^2}dx[/math]
[math]L_{\text{дуги}}=\int\limits_{z_1}^{z_2}\sqrt{1+\left[x'_z(z)\right]^2+\left[y'_z(z)\right]^2}dz \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{z_1}^{z_2}\sqrt{1+\left[\frac{dx(z)}{dz}\right]^2+\left[\frac{dy(z)}{dz}\right]^2}dz[/math]

[править] Параметрически заданная кривая

Длина дуги трёхмерной кривой, заданной (параметрически) уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t), считается по формуле:

[math]L_{\text{дуги}}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left[x'_t(t)\right]^2+\left[y'_t(t)\right]^2+\left[z'_t(t)\right]^2}dt \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left[\frac{dx(t)}{dt}\right]^2+\left[\frac{dy(t)}{dt}\right]^2+\left[\frac{dz(t)}{dt}\right]^2}dt[/math]

[править] Примеры трёхмерных кривых:

[править] Другие формулы:

[править] Виды формул:

[править] Литература

  • Бронштейн М. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике — М., 1956, стр.250.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты