Точка (геометрия)
Точка, в современной математике — элемент некоторого множества, называемого пространством.
В евклидовой геометрии, точка — примитивное понятие, на котором построена геометрия, что означает, что точка не может быть определена в терминах ранее определенных объектов.
Точка определяется только некоторыми свойствами, называемыми аксиомами, которым она должна удовлетворять. В частности, геометрические точки не имеют длины, площади, объема или каких-либо других размерных атрибутов. Распространенное толкование состоит в том, что понятие точки предназначено для отражения понятия уникального местоположения в евклидовом пространстве.[1]
Точки в евклидовой геометрии[править]
Точки, рассматриваемые в рамках евклидовой геометрии, являются одними из самых фундаментальных объектов. Евклид первоначально определил точку как «то, что не имеет части». В двумерном евклидовом пространстве точка представлена упорядоченной парой (x, y) чисел, где первое число условно представляет горизонталь и часто обозначается x, а второе число условно представляет вертикаль и часто обозначается пользователя y. Эта идея легко обобщается на трехмерное евклидово пространство, где точка представлена упорядоченным триплетом (x, y, z) с дополнительным третьим числом, представляющим глубину, и часто обозначается z. Дальнейшие обобщения представлены упорядоченным набором из n терминов (a1, a2, … , an), где n — размерность пространства, в котором расположена точка.
Многие конструкции в евклидовой геометрии состоят из бесконечного набора точек, соответствующих определенным аксиомам. Обычно это представлено набором точек; например, линия представляет собой бесконечный набор точек вида , где с c1 по cn и d — константы, а n — размерность пространства. Существуют аналогичные конструкции, которые определяют плоскость, линейный сегмент и другие связанные понятия. Отрезок, состоящий только из одной точки, называется вырожденным отрезком.
В дополнение к определению точек и построений, связанных с точками, Евклид также постулировал ключевую идею о точках, что любые две точки могут быть соединены прямой линией. Это легко подтверждается современными расширениями евклидовой геометрии и имело длительные последствия при ее введении, позволяя построить почти все геометрические концепции, известные в то время. Однако постулирование точек Евклида не было ни полным, ни окончательным, и иногда он предполагал факты о точках, которые не вытекали непосредственно из его аксиом, такие как порядок точек на прямой или существование конкретных точек. Несмотря на это, современные расширения системы служат для устранения этих предположений.
Примеры точек[править]
- проекция точки на прямую;
- проекция точки на плоскость;
- основание перпендикуляра из точки к прямой;
- основание перпендикуляра из точки к плоскости;
- точка пересечения перпендикуляра к двум прямым с первой прямой;
- точка пересечения перпендикуляра к двум прямым со второй прямой;
- точка пересечения прямой и плоскости;
- точка пересечения трёх плоскостей;
- точка, равноудалённая от двух прямых;
- точка, равноудалённая от четырёх точек;
- точка деления отрезка в данном отношении;
- точка прямой, находящаяся от первой точки прямой до второй в данном отношении;
- точка прямой, находящаяся перед первой точкой прямой до второй в данном отношении;
- точка прямой, находящаяся от первой точки прямой за второй в данном отношении.
Другие формулы[править]
Источники[править]
- ↑ Ohmer Merlin M. Elementary Geometry for Teachers. — Reading: Addison-Wesley, 1969.