Точка (геометрия)

← другие значения

Точки в двумерном евклидовом пространстве (обозначены красным цветом)

Точка, в современной математике — элемент некоторого множества, называемого пространством.

В евклидовой геометрии, точка — примитивное понятие, на котором построена геометрия, что означает, что точка не может быть определена в терминах ранее определенных объектов.

Точка определяется только некоторыми свойствами, называемыми аксиомами, которым она должна удовлетворять. В частности, геометрические точки не имеют длины, площади, объема или каких-либо других размерных атрибутов. Распространенное толкование состоит в том, что понятие точки предназначено для отражения понятия уникального местоположения в евклидовом пространстве.

Точки в евклидовой геометрии

Точки, рассматриваемые в рамках евклидовой геометрии, являются одними из самых фундаментальных объектов. Евклид первоначально определил точку как «то, что не имеет части». В двумерном евклидовом пространстве точка представлена ​​упорядоченной парой (x, y) чисел, где первое число условно представляет горизонталь и часто обозначается x, а второе число условно представляет вертикаль и часто обозначается пользователя y. Эта идея легко обобщается на трехмерное евклидово пространство, где точка представлена ​​упорядоченным триплетом (x, y, z) с дополнительным третьим числом, представляющим глубину, и часто обозначается z. Дальнейшие обобщения представлены упорядоченным набором из n терминов (a₁, a₂, … , a_n), где n — размерность пространства, в котором расположена точка.

Многие конструкции в евклидовой геометрии состоят из бесконечного набора точек, соответствующих определенным аксиомам. Обычно это представлено набором точек; например, линия представляет собой бесконечный набор точек вида $\scriptstyle {L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})|a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+...a_{n}c_{n}=d\rbrace }$, где с c₁ по c_n и d — константы, а n — размерность пространства. Существуют аналогичные конструкции, которые определяют плоскость, линейный сегмент и другие связанные понятия. Отрезок, состоящий только из одной точки, называется вырожденным отрезком.

В дополнение к определению точек и построений, связанных с точками, Евклид также постулировал ключевую идею о точках, что любые две точки могут быть соединены прямой линией. Это легко подтверждается современными расширениями евклидовой геометрии и имело длительные последствия при ее введении, позволяя построить почти все геометрические концепции, известные в то время. Однако постулирование точек Евклида не было ни полным, ни окончательным, и иногда он предполагал факты о точках, которые не вытекали непосредственно из его аксиом, такие как порядок точек на прямой или существование конкретных точек. Несмотря на это, современные расширения системы служат для устранения этих предположений.

Примеры точек

• проекция точки на прямую;
• проекция точки на плоскость;
• основание перпендикуляра из точки к прямой;
• основание перпендикуляра из точки к плоскости;
• точка пересечения перпендикуляра к двум прямым с первой прямой;
• точка пересечения перпендикуляра к двум прямым со второй прямой;
• точка пересечения прямой и плоскости;
• точка пересечения трёх плоскостей;
• точка, равноудалённая от двух прямых;
• точка, равноудалённая от четырёх точек;
• точка деления отрезка в данном отношении;
• точка прямой, находящаяся от первой точки прямой до второй в данном отношении;
• точка прямой, находящаяся перед первой точкой прямой до второй в данном отношении;
• точка прямой, находящаяся от первой точки прямой за второй в данном отношении.

Другие формулы

• расстояние;
• длина линии;
• площадь двухмерной фигуры;
• площадь поверхности трёхмерной фигуры;
• объём трёхмерной фигуры;
• точка;
• проекция;
• угол;
• уравнение прямой;
• уравнение плоскости.