Геометрия
Геометрия, в математике и естествознании — та или иная формальная система, родственная классической евклидовой геометрии, которая даёт вычислительную модель для решения практических и исследовательских задач о «нашем», физическом пространстве.
Общая информация[править]
Классическая геометрия задействует понятия, в основном, поддающиеся интуиции и знакомые через бытовую языковую культуру: место, сторона, расстояние, угол, сечение, прямота, размер, объём и многие другие. При этом же геометрия строго и точно обоснована математически, подвергаясь аксиоматизации и координатизации.
Все теории классической физики: механика, оптика, химия, гидродинамика, термодинамика и многие другие, — полагаются на евклидову геометрию и притом добиваются строгой экспериментальной проверки.
История[править]
Ранний успех геометрии, как научной традиции, засвидетельствован в творениях древней каменной архитектуры: в руинах построек от самых разных культур и исторических веков.
Аксиоматический метод, зародившись в литературе античных философов, пределом своего применения имел именно теорию геометрии, но во время становления европейской натуральной философии и экспериментальной науки, стал ключевым методом самопроверки для любого теоретического направления науки.
В искусствах, задействующих сущности геометрии: в оптике, графике, живописи, картографии, печатном деле, — геометрические соотношения осваиваются не в их математической сути, но через практическое решение задач передачи пространственных размеров и фигур. Открытие телескопии (правил построения оптических приборов) и перспективы (техники услежения за визуальным полем) — происходило одновременно с возрождением формальной математической традиции в Европе, либо даже предшествовало ему.
В первой половине XVII века Рене Декарт и Пьер де Ферма изобрели метод координат, позволяющий, среди прочего, записывать геометрические построения через уравнения — методами алгебры. Было осознано соответствие понятия функции с одномерной континуальной кривой, проведённой на эвклидовой плоскости.
В 1840-х годах Герман Грассман заложил основы линейной алгебры и определил статус всевозможных геометрий, как частного рода формальных систем, допускающих произвольное число измерений («протяжений», нем. Ausdehnung). В XIX веке исследованы семейства различных геометрий, порождаемых алгебраически замкнутыми символьными схемами. Такое обобщение языка математики позволило рассматривать пространство-время, как единое, неделимое и со «своей» геометрией, более сложной, чем классическая. В сторону упрощения же идёт исследование формальных систем, обременённых меньшим или менее сложным набором аксиом: топология, дискретная геометрия, алгебраическая геометрия и другие.
Аксиоматика эвклидовой геометрии[править]
В лекциях «Основания геометрии» (конец XIX века) Давид Гильберт перестроил традиционную аксиоматику, выделив три своеобразные «группы» аксиом: 7 связи, 4[1] упорядоченности и 6 конгруэнтности, отдельно утверждая односторонне независимые аксиому о параллелях и аксиому Архимеда. Позже была добавлена дополнительная аксиома законченности, полноты, точности (Vollständigkeit).
Непротиворечивость данных аксиом доказывается сопоставлением со множеством тех вещественных чисел Ω, которые объемлют все алгебраические числа Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \omega } , получаемые из единицы операциями + — × ÷ и Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\sqrt {1+\omega ^{2}}}} . Это те операции, которым соответствуют построения циркулем и линейкой.
Далее определяется понятие (некоей, частной) численной системы, как удовлетворяющей тем или иным свойствам счёта. Вещественные числа при этом образуют наиболее строгую систему, как удовлетворяющую всем семнадцати свойствам, в целом определяемым так:
Операция сложения или умножения над двумя числами точно определяет другое число. Если получаемое число равно одному из тех чисел, то другое было: в сложении — единицей, в умножении — нулём. Сложение и/или произведение ассоциативно и/или симметрично. Умножение дистрибутивно по сложению слева/справа. Это теоремы связи. Теоремы порядка: в паре чисел одно больше другого, а то — меньше первого. Это свойство транзитивно и/или симметрично монотонно по сложению и/или умножению. И теорема Архимеда: Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \forall a,b>0:(a+a+...+a)>b} .
Гильберт указывает на проблему исследования логической взаимозависимости этих свойств и в частности показывает, что коммутативность умножения следует из совокупности всех прочих данных правил счёта.
Такое сопоставление геометрических и алгебраических законов обосновывает предмет аналитической геометрии: координатную плоскость или координатное пространство.
Примечания[править]
- ↑ В изначальной версии — избыточные пять.
См.также[править]
Ссылки[править]
 ↑ | |
|---|---|
↑ | |
|---|---|
| Тривиум |
Грамматика • Риторика • Диалектика (Логика) |
| Квадривиум |
Арифметика • Геометрия • Астрономия • Музыка |