Тригонометрия

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Титульная страница «Тригонометрии» (переиздание 1612) В. Питиска, давшая название одноименному разделу математики
Основы тригонометрии // KhanAcademyRussian (CC) [9:25]
Основы тригонометрии Часть 2 // KhanAcademyRussian [12:22]

Тригонометрия — раздел классической математики, лежащий на пересечении алгебры и геометрии: система законов-функций, по которым на евклидовой плоскости соотносятся стороны и углы треугольников.

Тригонометрия основывается на соотношении подобия. Треугольники с двумя равными углами подобны, поэтому подобны прямоугольные треугольники, в которых равен один острый угол. Отношение длин сторон у подобных треугольников одинаковое, поэтому отношение сторон прямоугольных треугольников зависит только от одного параметра — величины острого угла. Это обстоятельство позволяет обозначить тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс, через отношение различных сторон прямоугольного треугольника.

Содержание

[править] Исторические сведения

Некоторые сведения о науке, позже получившей название «тригонометрия», были еще у древних египтян. В папирусе Ахмеса есть пять задач, касающихся измерения пирамид, в которых упоминается какая-то функция угла — «сект». Есть мнение, что «сект» обозначает котангенс угла. Применение этой функции носило сугубо практическую причину: египетские архитекторы строили пирамиды, строго придерживаясь одного и того же значения угла наклона боковой грани к основанию (52°) и угла между ребром и диагональю основания (42°). А для этого надо было знать соответствующие отношения между линейными элементами четырехугольной пирамиды.

Вавилоняне так же имели некоторые знания об этой области математики: они ввели разделение круга на 360° и разделение градуса на 60 частей, что соответствовало принятой в древней Месопотамии шестидесятеричной системе счисления. Для измерения углов вавилоняне пользовались примитивной астролябией.

Древние греки умели решать многие тригонометрические задачи, но они применяли геометрические, а не алгебраические методы.

Тригонометрическую функцию синус впервые ввели древние индийцы в трактате «Сурья-сиддханта». Свойства этой функции исследовал индийский математик 5 века Ариабхата[1]. Дальнейший вклад в развитие тригонометрии сделали арабские математики. До 10 века они апеллировали всеми тригонометрическими функциями и протабулировали их. В Европу понятие тригонометрических функций пришло с переводами трудов ал-Баттани и Ат-Туси. Одной из первых работ европейской математики, посвященных тригонометрии была книга «De Triangulis» немецкого математика 15 века Региомонтана. Однако, еще в 16 веке тригонометрия была мало известна. Коперник вынужден был посвятить ее описанию 2 отдельных раздела в своей работе «Об обращении небесных сфер» (лат. «De revolutionibus orbium coelestium»).

Быстрое дальнейшее развитие тригонометрии было обусловлено требованиями навигации и картографии[2]. Сам термин тригонометрия ввел, опубликовав в 1595 книгу под таким же названием, немецкий математик Варфоломей Питиск (нем. Bartholomäus Pitiscus, 1561—1613)[3]. Гемма Фризий описал метод триангуляции.

Со становлением математического анализа тригонометрия получила новые методы. Благодаря трудам Брука Тейлора и Колина Маклорена тригонометрические функции получили представление в виде рядов[4]. Формула Муавра установила связь между тригонометрическими функциями и экспонентой. Леонард Эйлер расширил определение тригонометрических функций на комплексную плоскость.

[править] Тригонометрические функции

Прямоугольный треугольник
  • Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  • Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  • Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.
  • Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.
  • Секанс — отношение гипотенузы к прилежащему катету.
  • Косеканс — отношение гипотенузы к противолежащему катету.

Данные определения позволяют вычислить значения функций для острых углов, то есть от 0° до 90° (от 0 до [math]\pi \over 2[/math] радиан). В XVIII веке Леонард Эйлер дал современные, более общие определения, расширив область определения этих функций на всю числовую ось. Рассмотрим в прямоугольной системе координат окружность единичного радиуса (см. рисунок) и отложим от горизонтальной оси угол [math]\theta[/math] (если величина угла положительна, то откладываем против часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку пересечения построенной стороны угла с окружностью обозначим A. Тогда:

Для острых углов новые определения совпадают с прежними.

[править] Свойства функции синус

Синус
  1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: [math]D(y) = R[/math].
  2. Множество значений — промежуток [−1; 1]: [math]E(y)[/math] = [−1;1].
  3. Функция [math] y = \sin \left( \alpha \right) [/math] является нечётной: [math] \sin \left( - \alpha \right) = - \sin \alpha[/math].
  4. Функция периодическая, наименьший положительный период равен [math]2\pi[/math]: [math] \sin \left( \alpha + 2 \pi \right) = \sin \left( \alpha \right) [/math].
  5. График функции пересекает ось Ох при [math] \alpha = \pi n \,, n \in Z[/math].
  6. Промежутки знакопостоянства: [math]y \gt 0[/math] при [math] \left( 2\pi n + 0; \pi + 2\pi n \right) \,, n \in Z [/math] и [math] y \lt 0 [/math] при [math]\left( \pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n \right) \,, n \in Z [/math].
  7. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента: [math]( \sin \alpha )' = \cos \alpha[/math]
  8. Функция [math] y = \sin \alpha [/math] возрастает при [math] \alpha \in \left( - \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \,, n \in Z [/math], и убывает при [math] \alpha \in \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n; 3\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \,, n \in Z [/math].
  9. Функция имеет минимум при [math] \alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \,, n \in Z [/math] и максимум при [math] \alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \,, n \in Z [/math].

[править] Свойства функции косинус

Косинус
  1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: [math]D(y) = R[/math].
  2. Множество значений — промежуток [−1; 1]: [math]E(y)[/math] = [−1;1].
  3. Функция [math] y = \cos \left( \alpha \right) [/math] является чётной: [math] \cos \left( - \alpha \right) = \cos \alpha[/math].
  4. Функция периодическая, наименьший положительный период равен [math]2\pi[/math]: [math] \cos \left( \alpha + 2 \pi \right) = \cos \left( \alpha \right) [/math].
  5. График функции пересекает ось Ох при [math] \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n \,, n \in Z[/math].
  6. Промежутки знакопостоянства: [math]y \gt 0[/math] при [math] \left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \,, n \in Z [/math] и [math] y \lt 0 [/math] при [math]\left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n; 3\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \,, n \in Z .[/math]
  7. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента: [math]( \cos \alpha )' = -\sin \alpha[/math]
  8. Функция [math] y = \cos \alpha [/math] возрастает при [math] \alpha \in \left( -\pi + 2\pi n; 2\pi n \right) \,, n \in Z ,[/math] и убывает при [math] \alpha \in \left( 2\pi n; \pi + 2\pi n \right) \,, n \in Z .[/math]
  9. Функция имеет минимум при [math] \alpha = \pi + 2\pi n \,, n \in Z [/math] и максимум при [math] \alpha = 2\pi n \,, n \in Z .[/math]

[править] Свойства функции тангенс

Тангенс
  1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: [math]D(y) = R[/math], кроме чисел [math] \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n . [/math]
  2. Множество значений — множество всех действительных чисел: [math] E(y) = R . [/math]
  3. Функция [math] y = \mathrm{tg} \left( \alpha \right) [/math] является нечётной: [math] \mathrm{tg} \left( - \alpha \right) = - \mathrm{tg}\ \alpha[/math].
  4. Функция периодическая, наименьший положительный период равен [math]\pi[/math]: [math] \mathrm{tg} \left( \alpha + \pi \right) = \mathrm{tg} \left( \alpha \right) [/math].
  5. График функции пересекает ось Ох при [math] \alpha = \pi n \,, n \in Z[/math].
  6. Промежутки знакопостоянства: [math] y \gt 0 [/math] при [math] \left( \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \,, n \in Z [/math] и [math] y \lt 0 [/math] при [math]\left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \pi n \right) \,, n \in Z [/math].
  7. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента из области определения: [math]( \mathop{\operatorname{tg}}\, x )' = \frac{1}{\cos ^2 x}.[/math]
  8. Функция [math] y = \mathrm{tg}\ \alpha [/math] возрастает при [math] \alpha \in \left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \,, n \in Z [/math].

[править] Свойства функции котангенс

Котангенс
  1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: [math]D(y) = R,[/math] кроме чисел [math] \alpha = \pi n .[/math]
  2. Множество значений — множество всех действительных чисел: [math] E(y) = R .[/math]
  3. Функция [math] y = \mathop{\operatorname{ctg}} \left( \alpha \right) [/math] является нечётной: [math] \mathop{\operatorname{ctg}} \left( - \alpha \right) = - \mathop{\operatorname{ctg}}\ \alpha \,.[/math]
  4. Функция периодическая, наименьший положительный период равен [math]\pi[/math]: [math] \mathop{\operatorname{ctg}} \left( \alpha + \pi \right) = \mathop{\operatorname{ctg}} \left( \alpha \right) .[/math]
  5. График функции пересекает ось Ох при [math] \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n \,, n \in Z \,.[/math]
  6. Промежутки знакопостоянства: [math] y \gt 0 [/math] при [math] \left( \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \,, n \in Z [/math] и [math] y \lt 0 [/math] при [math]\left( \frac{\pi}{2} + \pi n; \pi \left( n + 1 \right) \right) \,, n \in Z .[/math]
  7. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента из области определения: [math]( \mathop{\operatorname{ctg}}\, x )' = -\frac{1}{\sin ^2 x}.[/math]
  8. Функция [math] y = \mathop{\operatorname{ctg}}\ \alpha [/math] убывает при [math] \alpha \in \left( \pi n; \pi \left( n + 1 \right) \right) \,, n \in Z .[/math]

[править] Основные теоремы тригонометрии

Определенные для прямоугольного треугольника тригонометрические функции позволяют решать произвольные треугольники с использованием основных теорем: теоремы синусов, теоремы косинусов и теоремы тангенсов.

[править] Теорема синусов

Теорема синусов утверждает, что отношение синуса угла к длине противоположной стороны треугольника одинакова для всех углов треугольника. Для плоского треугольника со сторонами [math]a, b, c[/math] и соответствующими противоположными них углами [math]A, B, C[/math] можно записать:

[math]\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,[/math]

где [math]R[/math] — радиус описанной окружности вокруг треугольника.

[math]R = \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}.[/math]

[править] Теорема косинусов

По теореме косинусов, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для плоского треугольника со сторонами [math]a, b, c[/math] и углом [math]C[/math], между сторонами [math]a, b[/math]:

[math]c^2=a^2+b^2-2ab\cos C ,\,[/math]

или:

[math]\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.\,[/math]

Теорема косинусов позволяет определить длину третьей стороны треугольника, если известны длины двух сторон и значение угла между ними.

[править] Теорема тангенсов

Теорема тангенсов — теорема о соотношении между двумя сторонами произвольного треугольника и тангенса полусуммы и полуразности противоположных к ним углов, которая записывается уравнением (формула Региомонтана):

[math]\frac{a-b}{a+b}=\frac{\mathop{\operatorname{tg}}\left[\tfrac{1}{2}(A-B)\right]}{\mathop{\operatorname{tg}}\left[\tfrac{1}{2}(A+B)\right]}[/math]

[править] Площадь треугольника

Площадь треугольника тоже может быть определена через тригонометрические функции: она равна половине произведения прилегающих сторон на синус угла между ними:

[math]A = \frac{1}{2}ab\sin C .\,[/math]

[править] Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнения, в которых фигурируют тригонометрические функции, называют тригонометрическими. Самые простые из них имеют аналитические решения, благодаря существованию обратных тригонометрических функций. Поскольку тригонометрические функции периодические, такие решения не единственные, а определяются с точностью до периода.

[math]\begin{matrix} \sin x=a & (|a|\le1) & x=(-1)^n \arcsin a + \pi n \\ \cos x=a & (|a|\le1)& x=\pm \arccos a + 2 \pi n \\ \text{tg}\, x=a & & x=\text{arctg}\, a + \pi n \\ \text{ctg}\, x=a & & x=\text{arcctg}\, a + \pi n \\ \end{matrix}[/math]

[править] Формулы преобразования тригонометрических выражений

Синус и косинус суммы/разности:

[math]\sin(x+y)=\sin x \cos y + \cos x \sin y \![/math]
[math]\sin(x-y)=\sin x \cos y - \cos x \sin y \![/math]
[math]\cos(x+y)=\cos x \cos y - \sin x \sin y \![/math]
[math]\cos(x-y)=\cos x \cos y + \sin x \sin y \![/math]

Сумма/разность синусов и косинусов:

[math]\sin x + \sin y = 2 \sin{\frac{x+y}{2}} \cos{\frac{x-y}{2}} \![/math]
[math]\sin x - \sin y = 2 \sin{\frac{x-y}{2}} \cos{\frac{x+y}{2}} \![/math]
[math]\cos x + \cos y = 2 \cos{\frac{x+y}{2}} \cos{\frac{x-y}{2}} \![/math]
[math]\cos x - \cos y =-2 \sin{\frac{x+y}{2}} \sin{\frac{x-y}{2}} \![/math]

[править] Сферическая тригонометрия

Сферическая тригонометрия — раздел сферической геометрии, главными объектами которого являются многоугольники (особенно треугольники) на сфере и соотношение между сторонами и углами. Возникновение сферической геометрии связано с задачами сферической астрономии.

Основными элементами сферической геометрии являются точки и большие круги сферы. Большие круги являются геодезическими линиями сферы, поэтому они в сферической геометрии играют роль, аналогичную роли прямых в планиметрии. Расстояние между двумя точками в сферической геометрии измеряется углом между радиусами сферы, проведенными в эти точки. Угол между двумя «прямыми» равен двугранному углу между плоскостями больших кругов, которые определяют эти «прямые». Две любые «прямые» в сферической геометрии пересекаются в двух точках и разбивают поверхность сферы на 4 двуугольника. Три «прямые», пересекаясь попарно, образуют 8 сферических треугольников. Эти треугольники имеют много необычных свойств, которые отличают их от плоских треугольников. Например, сумма углов сферического треугольника всегда больше 180° и меньше 540°.

Стороны и углы сферического треугольника связаны зависимостями:

[math]\frac{\sin\frac{a}{R}}{\sin A}=\frac{\sin\frac{b}{R}}{\sin B}=\frac{\sin\frac{c}{R}}{\sin C};[/math]
[math]\cos\frac{c}{R}=\cos\frac{a}{R}\cos\frac{b}{R}+\sin\frac{a}{R}\sin\frac{b}{R}\cos C;[/math]
[math]\cos\frac{a}{R}=\frac{\cos A + \cos B\cos C}{\sin B\sin C}.[/math]

где [math]a, b, c[/math] — стороны сферического треугольника; [math]A, B, C[/math] — углы, противоположные этим сторонам; [math]R[/math] — радиус сферы.

Сферическая тригонометрия очень важна в астрономических вычислениях (небесной механике), а также в орбитальной, космической навигации и навигации на поверхности Земли.

[править] Источники

  1. 'Boyer Carl B.' A History of Mathematics. — Second Edition. — John Wiley & Sons, Inc., 1991. — P. 215. — ISBN 0471543977.
  2. 'Grattan-Guinness Ivor' The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences. — W.W. Norton, 1997. — ISBN 0-393-32030-8.
  3. Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions, and Discoveries
  4. William Bragg Ewald (2008).From Kant to Hilbert: a source book in the foundations of mathematics. Oxford University Press US. p.93. ISBN 0-19-850535-3

[править] Литература

  • Андронов И. К., Окунев А. К. Курс тригонометрии, развиваемый на основе реальных задач. — М.: Просвещение, 1967. — 648 с.
  • Волынский Б. А. Сферическая тригонометрия. — М.: Наука, 1977. — 136 с.
  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. — 830 c.

[править] Ссылки


Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты