Использование тригонометрии
Среди непрофессиональной публики, то есть людей, не являющихся математиками или учёными, тригонометрия известна в основном своим приложением к задачам измерения, но также часто используется гораздо более тонкими способами, например, её место в теории музыки; всё же другие варианты использования носят более технический характер, например, в теории чисел. Математические разделы рядов Фурье и преобразований Фурье в значительной степени зависят от знания тригонометрических функций и находят применение в ряде областей, включая статистику.
Утверждение Томаса Пейна[править]
В главе XI «Века разума» американский революционер и мыслитель Просвещения Томас Пейн писал[1]:
|
История[править]
Великое тригонометрическое исследование[править]
→ Великое тригонометрическое исследование
С 1802 по 1871 год Великое тригонометрическое исследование было проектом по исследованию Индийского субконтинента с высокой точностью. Начиная с берега, географы и математики триангулировали огромные расстояния по стране. Одним из ключевых достижений было измерение высоты Гималайских гор и определение того, что гора Джомолунгма является самой высокой точкой на Земле[2].
Историческое использование умножения[править]
В течение 25 лет, предшествовавших изобретению логарифма в 1614 году, простафаэрез был единственным известным общеприменимым способом быстрого приближения произведений. Этот способ использовал тождества для тригонометрических функций сумм и разностей углов в терминах произведений тригонометрических функций этих углов.
Некоторые современные использования[править]
Научные области, в которых используется тригонометрия, включают:
|
То, что эти поля связаны с тригонометрией, не означает, что знание тригонометрии необходимо для того, чтобы что-то о них узнать. Это означает, что некоторые вещи в этих областях нельзя понять без тригонометрии. Например, профессор музыки, возможно, ничего не знает о математике, но, вероятно, знает, что Пифагор был одним из первых известных авторов математической теории музыки.
В некоторых областях деятельности, перечисленных выше, легко представить, как можно использовать тригонометрию. Например, в навигации и топографической съёмке обстоятельства использования тригонометрии, по крайней мере, в некоторых случаях достаточно просты, чтобы их можно было описать в учебнике по тригонометрии для начинающих. В случае теории музыки применение тригонометрии связано с работой, начатой Пифагором, который заметил, что звуки, издаваемые при нажатии на две струны разной длины, являются согласными, если обе длины являются малыми целыми кратными общей длины. Сходство между формой колеблющейся струны и графиком функции синус не является простым совпадением. В океанографии сходство форм некоторых волн с графиком синусоидальной функции также не случайно. В некоторых других областях, среди которых климатология, биология и экономика, наблюдаются сезонные периоды. Их изучение часто связано с периодическим характером функции синуса и косинуса.
Ряды Фурье[править]
Многие области используют тригонометрию более продвинутыми способами, чем можно обсудить в одной статье. Часто это так называемые ряды Фурье в честь Жозеф Фурье — французского математика и физика XVIII—XIX веков. Ряды Фурье имеют удивительно разнообразное применение во многих областях науки, в частности, во всех явлениях, связанных с сезонной периодичностью, упомянутой выше, и в волновом движении, и следовательно, в изучении излучения, акустики, сейсмологии, модуляции радиоизлучения в электронике и электроэнергетике.
Ряд Фурье представляет собой сумму этой формы:
- ,
где каждый из квадратов () — это другое число, и один добавляет бесконечно много членов. Фурье использовал их для изучения тепла потока и диффузии[Прим. 1].
Ряды Фурье применимы и к предметам, связь которых с волновым движением далеко не очевидна. Одним из распространённых примеров является цифровое сжатие, при котором изображения, аудио- и видеоданные сжимаются в гораздо меньший размер, что делает возможной их передачу через телефон, Интернет и вещание в сети. Другой пример, упомянутый выше — это диффузия. Среди других: геометрия чисел, изопериметрические задачи, повторяемость случайных блужданий, квадратичная взаимность, центральная предельная теорема, неравенство Гейзенберга.
Преобразования Фурье[править]
Более абстрактным понятием, чем ряды Фурье, является идея преобразований Фурье. Преобразования Фурье включают в себя интегралы, а не суммы, и используются в столь же разнообразном множестве научных областей. Многие законы природы выражаются в соотнесении скорости изменения величин с самими величинами. Например: Скорость изменения численности населения иногда пропорциональна (1) существующей численности населения и (2) количеству, на которое нынешняя популяция отстаёт от потенциальной ёмкости. Этот вид отношений называется дифференциальным уравнением. Если, имея эту информацию, кто-то пытается выразить численность населения как функцию времени, он пытается решить дифференциальное уравнение. Преобразования Фурье могут использоваться для преобразования некоторых дифференциальных уравнений в алгебраические уравнения, для которых известны методы их решения. Преобразования Фурье имеют множество применений. Практически в любом научном контексте, в котором встречаются слова спектр, гармоника или резонанс, рядом есть преобразования Фурье или ряды Фурье.
Статистика, включая математическую психологию[править]
Иногда считается, что коэффициенты интеллекта распределяются по колоколообразной кривой. Около 40 % площади под кривой находится в интервале от 100 до 120; соответственно, около 40 % населения набирает от 100 до 120 баллов по тестам IQ. Около 9 % площади под кривой находится в интервале от 120 до 140; соответственно, около 9 % населения набирает от 120 до 140 баллов по тестам IQ и т. д. Точно так же многие другие вещи распределяются по колоколообразной кривой, включая ошибки измерений во многих физических измерениях. Почему повсеместно встречается колоколообразная кривая? Для этого есть теоретическая причина, и она включает в себя преобразования Фурье и, следовательно, тригонометрические функции. Это одно из множества применений преобразований Фурье в статистике.
Тригонометрические функции также применяются, когда статистики изучают сезонные периоды, которые часто представлены рядами Фурье.
Теория чисел[править]
Есть намек на связь между тригонометрией и теорией чисел. Грубо говоря, можно сказать, что теория чисел имеет дело с качественными свойствами, а не с количественными свойствами чисел.
Надо отказаться от тех, которые не на самом низком уровне; а оставить только те, которые находятся на самом низком уровне:
Затем внести тригонометрию:
Значение суммы равно −1, потому что 42 имеет нечётное число простых множителей, и ни один из них не повторяется: 42 = 2 × 3 × 7. (Если бы было чётное число неповторяющихся множителей, тогда сумма была бы 1; если бы были какие-либо повторяющиеся простые множители (например, 60 = 2 × 2 × 3 × 5), то сумма была бы 0; сумма — это функция Мёбиуса оценивается в 42.) Это намекает на возможность применения анализа Фурье в теории чисел.
Решение нетригонометрических уравнений[править]
Различные типы уравнений могут быть решены с помощью тригонометрии.
Например, линейное разностное уравнение или линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет решения, выраженные через собственные значения своего характеристического уравнения; если некоторые из собственных значений комплексные, комплексные члены могут быть заменены тригонометрическими функциями действительных членов, показывая, что динамическая переменная демонстрирует колебания.
Точно так же кубические уравнения с тремя действительными решениями имеют алгебраическое решение[en], которое бесполезно, поскольку оно содержит кубические корни из комплексных чисел; опять же существует альтернативное решение в терминах тригонометрических функций действительных членов.
Примечания[править]
Источники[править]
- ↑ Век разума. — Публикации Дувра, 2004.
- ↑ Треугольники и тригонометрия. Проверено 6 февраля 2019.