Ряд Фурье

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
7.1 Ряды Фурье // academyathome [8:39]
Ряды Фурье // Vasiliy Tereshkov [44:19]

Ряд Фурье — это тригонометрический ряд (являющийся разложением функции f(x) на интервале [-l; l]), в котором слагаемыми служат функции ancos(cnx) и bnsin(cnx), а коэффициенты an, bn, cn = πn/l — это числа.

  • Периодическая функция f(x) имеет дискретный спектр, т.е. она может быть представлена в виде отдельных гармоник с частотами πn/l.

Содержание

[править] Формулы

Разложение функции f(x) на интервале [-l; l]:

[math]f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{\pi nx}{l}+b_n\sin\frac{\pi nx}{l}\right)[/math], где [math]a_n=\frac{1}{l}\int\limits_{-l}^lf(x)\cos\frac{\pi nx}{l}dx[/math], [math]b_n=\frac{1}{l}\int\limits_{-l}^lf(x)\sin\frac{\pi nx}{l}dx[/math].

Разложение функции f(x) на интервале [−π; π]:

[math]f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)[/math], где [math]a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx dx[/math], [math]b_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx dx[/math].

Разложение чётной функции fчёт(x) на интервале [-l; l]:

ФУР03.JPG

Разложение нечётной функции fнечёт(x) на интервале [-l; l]:

ФУР04.JPG

Разложение чётной функции fчёт(x) на интервале [-π; π]:

ФУР05.JPG

Разложение нечётной функции fнечёт(x) на интервале [-π; π]:

ФУР06.JPG

Разложение функции f(x) по косинусам на интервале [0; l]:

ФУР07.JPG

Разложение функции f(x) по синусам на интервале [0; l]:

ФУР08.JPG

Разложение функции f(x) по косинусам на интервале [0; π]:

ФУР09.JPG

Разложение функции f(x) по синусам на интервале [0; π]:

ФУР10.JPG

[править] Пример

Разложение функции f(x)=ex на интервале [-π, π].

Сначала находим коэффициенты:
ФУР11.JPG

Окончательно, получаем разложение Фурье:
ФУР12.JPG

[править] Другие ряды:

[править] См. также

[править] Литература

  • Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа для втузов — М.: Наука, 1973.

[править] Ссылки

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты