VIDEO
Лекция №6 по ТФКП. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты. Городецкий С.Е. // Физтех-Live [1:57:03]
Ряд Лорана — это степенной ряд для комплексной функции f(z) , аналитичной в кольце между двумя концентрическими окружностями K1 и K2 с центрами в точке a и радиусами r1 и r2 и r1 < r2 , являющийся разложением по положительным и отрицательным степеням (z − a) .
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
(
z
−
a
)
n
+
∑
n
=
1
∞
b
−
n
(
z
−
a
)
−
n
,
r
1
<
|
z
−
a
|
<
r
2
,
где
{\displaystyle f(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }b_{-n}(z-a)^{-n},\ r_{1}<|z-a|<r_{2},{\text{где}}}
a
n
=
1
2
π
i
∫
K
2
′
f
(
z
)
d
z
(
z
−
a
)
n
+
1
,
b
−
n
=
1
2
π
i
∫
K
1
′
f
(
z
)
d
z
(
z
−
a
)
−
n
+
1
{\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{K'_{2}}{\frac {f(z)dz}{(z-a)^{n+1}}},\ b_{-n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{K'_{1}}{\frac {f(z)dz}{(z-a)^{-n+1}}}}
K
1
′
=
{
z
:
|
z
−
a
|
=
r
1
′
,
r
1
′
>
r
1
}
,
K
2
′
=
{
z
:
|
z
−
a
|
=
r
2
′
,
r
2
′
<
r
2
}
{\displaystyle K'_{1}=\{z:|z-a|=r'_{1},\ r'_{1}>r_{1}\},\ K'_{2}=\{z:|z-a|=r'_{2},\ r'_{2}<r_{2}\}}
Ряд Лорана можно представить в виде:
f
(
z
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
c
n
(
z
−
a
)
n
,
r
1
<
|
z
−
a
|
<
r
2
,
где
{\displaystyle f(z)=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(z-a)^{n},\ r_{1}<|z-a|<r_{2},\ {\text{где}}}
c
n
=
1
2
π
i
∫
K
′
f
(
z
)
d
z
(
z
−
a
)
n
+
1
{\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{K'}{\frac {f(z)dz}{(z-a)^{n+1}}}}
K
′
=
{
z
:
|
z
−
a
|
=
r
′
,
r
1
<
r
′
<
r
2
}
{\displaystyle K'=\{z:|z-a|=r',\ r_{1}<r'<r_{2}\}}
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.