Ряд Лорана

Лекция №6 по ТФКП. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты. Городецкий С.Е. // Физтех-Live [1:57:03]

Ряд Лорана — это степенной ряд для комплексной функции f(z), аналитичной в кольце между двумя концентрическими окружностями K₁ и K₂ с центрами в точке a и радиусами r₁ и r₂ и r₁ < r₂, являющийся разложением по положительным и отрицательным степеням (z − a).

Формула

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n + \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{-n}(z-a)^{-n}, \ r_1 < |z-a| < r_2, \text{где}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_n=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{K'_2}\frac{f(z)dz}{(z-a)^{n+1}}, \ b_{-n}=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{K'_1}\frac{f(z)dz}{(z-a)^{-n+1}}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K'_1=\{z:|z-a|=r'_1,\ r'_1 > r_1\}, \ K'_2=\{z:|z-a|=r'_2,\ r'_2 < r_2\}}

Ряд Лорана можно представить в виде:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n, \ r_1 < |z-a| < r_2, \ \text{где}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c_n=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{K'}\frac{f(z)dz}{(z-a)^{n+1}}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K'=\{z:|z-a|=r',\ r_1 < r' < r_2\}}

Другие ряды:

1. Числовой ряд;
2. Ряд Маклорена;
3. Ряд Тейлора;
4. Ряд Тейлора комплексный;
5. Ряд Лорана;
6. Ряд Фурье;
7. Ряд Фурье комплексный.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970