Комплексный ряд Фурье

Преобразования #8: ряды Фурье, комплексная форма ряда Фурье // Самообразование [11:11]

Ряд Фурье комплексный — это ряд Фурье в комплексной форме (являющийся разложением функции f(x) на интервале [−l; l]), в котором слагаемыми служат комплексные функции c_ne^iπnx/l, а коэффициенты c_n — это комплексные числа.

Формулы

Разложение функции f(x) на интервале [−l; l]:

$f(x)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{\frac {i\pi nx}{l}}$, где $c_{n}={\frac {1}{l}}\int \limits _{-l}^{l}f(x)e^{-{\frac {i\pi nx}{l}}}dx$

Разложение функции f(x) на интервале [−π; π]:

$f(x)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{inx}$, где $c_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}dx$

Пример

Разложение функции f(x) = e^x на интервале [−π; π].

Сначала определяем коэффициенты:

$f(x)=e^{x}\Rightarrow c_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }e^{x}e^{-inx}dx={\frac {1}{\pi (1-in)}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }e^{(1-in)x}d(1-inx)=$

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle =\left.{\frac {1}{\pi (1-in)}}e^{(1-in)x}\right|_{-\pi }^{\pi }={\frac {e^{(1-in)\pi }-e^{-(1-in)\pi }}{\pi (1-in)}}={\frac {e^{\pi }e^{-in\pi }-e^{-\pi }e^{in\pi }}{\pi (1-in)}}={\frac {(-1)^{n}\left(e^{\pi }-e^{-\pi }\right)}{\pi (1-in)}}}

Окончательно, получаем разложение Фурье в комплексной форме:

$e^{x}={\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}e^{inx}}{1-in}}\Leftrightarrow e^{x}={\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}e^{inx}(1+in)}{1+n^{2}}}$

Другие ряды

1. Числовой ряд;
2. Ряд Маклорена;
3. Ряд Тейлора;
4. Ряд Тейлора комплексный;
5. Ряд Лорана;
6. Ряд Фурье;
7. Ряд Фурье комплексный.

См. также

• Комплексный интеграл Фурье

Литература

• Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа для втузов — М.: Наука, 1973.