Комплексные числа

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Комплексные числа
Комплексная плоскость (в программе Wolfram Mathematica)

Комплексные числа — математическая концепция чисел, представляющих собой сумму вещественного и чисто мнимого числа (вещественное число, умноженное на абстрактную величину «корень из −1», обозначаемую буквой i).

Более формально: комплексное число — это число, которое записывается в алгебраической форме в виде [math]a + b \cdot i[/math], где a и b — любые вещественные числа, и считается, что для числа [math]i[/math] выполняется тождество [math]i^2=-1[/math].

Совокупность комплексных чисел обычно обозначается буквой [math]\mathbb C[/math].

Содержание

[править] История

Комплексные числа появились в XVI веке, когда математики попытались решить квадратные уравнения с отрицательными дискриминантами (такие уравнения не имеют вещественных корней). Причем оказалось, что квадратный корень из отрицательного числа приходится извлекать при решении кубического уравнения по формуле, хотя все корни исходного кубического уравнения могут быть вещественными. Тогда же появилось описание действий над комплексными числами в их современном понимании (эти действия было необходимо проводить с комплексными числами для корректного решения кубического уравнения по формуле).

Значимый вклад в теорию комплексных чисел внес великий математик Леонард Эйлер (XVIII век), разработавший привычные алгебраическую, тригонометрическую и показательную записи комплексного числа. В XIX веке появилось отображение комплексных чисел на координатной плоскости, методы комплексного анализа.

Основная теорема алгебры утверждает, что всякий многочлен n-й степени с комплексными коэффициентами может быть разложен на n линейных сомножителей, и, таким образом, у всякого полиномиального уравнения n-й степени есть n корней в поле комплексных чисел с учетом их кратностей (до появления комплексных чисел у полиномиального уравнения могло не быть корней вовсе).

[править] Свойства

В алгебраической форме комплексное число записывается как [math]a + b \cdot i[/math], где под [math]i[/math] понимается [math]\sqrt{-1}[/math], то есть выполняется тождество [math]i^2=-1[/math]. Мнимая часть появляется при извлечении квадратного корня из отрицательного вещественного числа: [math]\sqrt{-16} = \sqrt{-1 \cdot 16} = \sqrt{16} \cdot i = ±4 \cdot i[/math].

Над комплексными числами можно проводить операции сложения (вычитания), умножения (по правилам перемножения многочленов), деления.

Формула деления комплексных чисел:

[math]\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i[/math],

то есть для каждого ненулевого комплексного число можно найти обратное к нему по умножению.

Поэтому они образуют поле, которое расширяет поле вещественных чисел: [math]\mathbb{R} \subset \mathbb{C}[/math]. Вещественные числа в этой модели — комплексные, коэффициент при мнимой части которых равен 0.

Пара сопряженных комплексных чисел является решением квадратного уравнения при [math]D \lt 0[/math]. Например, в уравнении [math]x² + 6x + 34 = 0[/math] имеем [math]D = −100[/math]; в таком случае [math]\sqrt{D} = ±10i[/math], где [math]i = \sqrt{-1}[/math]. Решения уравнения, соответственно [math]-3 ± 5i[/math].

Сумма и произведение сопряженных комплексных чисел представляют собой вещественные числа.

Комплексные числа изучаются в специальном разделе математического анализа — комплексном анализе, в алгебре они доставляют пример алгебраически замкнутого поля, имеют значительное применение в физике.

[править] Геометрическая интерпретация

Комплексное число z = a + bi может быть изображено точкой (a; b) на комплексной плоскости, на которой по оси x располагаются вещественные числа, по оси y — чисто мнимые.

Тригонометрическая форма отражает вектор, отложенный от начала координат до этой точки.

Тригонометрическая форма комплексного числа: [math]z = \left | z \right | \cdot (\cos \varphi + i \sin \varphi)[/math], где |z| («модуль z») — расстояние на комплексной плоскости от начала координат до точки, обозначающей число z, а «аргумент» [math]\varphi[/math] = [math]\operatorname{arctg}\ \frac{b}{a}[/math] (если [math]a \gt 0[/math]), [math]\pi + \operatorname{arctg}\ \frac{b}{a}[/math] (если [math]a \lt 0 \wedge b \gt 0[/math]) и [math]-\pi + \operatorname{arctg}\ \frac{b}{a}[/math] (если [math]a \lt 0 \wedge b \lt 0[/math]).

При возведении комплексного числа в степень достаточно возвести только его модуль, а аргумент [math]\varphi[/math] домножить на показатель степени:

[math]z^k = \left ({\left | z \right | \cdot (\cos \varphi + i \sin \varphi)}\right )^k = \left | z \right |^k \cdot (\cos k\varphi + i \sin k\varphi)[/math]

Показательная форма комплексного числа, открытая Эйлером: [math]z = r \cdot e^{i\varphi}[/math], где r — модуль комплексного числа, а [math]\varphi[/math] — его аргумент.

[править] Операции с комплексными числами

[править] Литература

  • Абрамович М. И., Стародубцев М. Т. Математика (геометрия и тригонометрические функции). М., 1976.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты