Деление комплексно сопряжённых чисел

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Частное от деления комплексно сопряжённых чисел — это результат деления комплексного числа на комплексно сопряжённое к нему. Представляет собой комплексное число, равное квадрату нормированного делимого.

[править] Обозначения

Введём обозначения:

x — действительная часть (абсцисса) комплексно сопряжённых чисел;

y — мнимая часть (ордината) первого числа;

−y — мнимая часть (ордината) второго числа;

r — модуль комплексно сопряжённых чисел;

φ — аргумент первого числа;

φ — аргумент второго числа;

x + iy — первое комплексно сопряжённое число;

x − iy — второе комплексно сопряжённое число.

[править] Формулы:

[math]\frac{x+iy}{x-iy}=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+i\frac{2xy}{x^2+y^2} \Leftrightarrow \frac{x+iy}{x-iy}=\frac{(x+iy)^2}{x^2+y^2} \Leftrightarrow \frac{x+iy}{\overline{x+iy}}=\left(\frac{x+iy}{|x+iy|}\right)^2 \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow \frac{x+iy}{\overline{x+iy}}=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+i\frac{2xy}{x^2+y^2} \Leftrightarrow \frac{x+iy}{\overline{x+iy}}=\frac{(x+iy)^2}{x^2+y^2} \Leftrightarrow \frac{x+iy}{\overline{x+iy}}=\left(\frac{x+iy}{|x+iy|}\right)^2 \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow \frac{r(\cos\varphi+i\sin\varphi)}{r(\cos\varphi-i\sin\varphi)}=\cos 2\varphi+i\sin 2\varphi, \ r=\sqrt{x^2+y^2}, \ \varphi=arctg\frac{y}{x}[/math]

[править] Другие операции:

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты