Обращение комплексно сопряжённого числа

Обращение комплексно сопряжённого числа — это взятие обратного к комплексно сопряженному числу (от заданного комплексного числа). Обратное к комплексно сопряженному равно исходному комплексному числу, делённому на квадрат модуля исходного числа.

Обозначения

Введём обозначения:

x — действительная часть (абсцисса) комплексно сопряжённых чисел;

y — мнимая часть (ордината) первого числа;

−y — мнимая часть (ордината) второго числа;

r — модуль комплексно сопряжённых чисел;

φ — аргумент первого числа;

−φ — аргумент второго числа;

x + iy — первое комплексно сопряжённое число;

x − iy — второе комплексно сопряжённое число.

Формулы:

${\frac {1}{x-iy}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}+i{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\Leftrightarrow {\frac {1}{x-iy}}={\frac {x+iy}{x^{2}+y^{2}}}\Leftrightarrow {\frac {1}{x-iy}}={\frac {x+iy}{|x+iy|^{2}}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {\frac {1}{\overline {x+iy}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}+i{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\Leftrightarrow {\frac {1}{\overline {x+iy}}}={\frac {x+iy}{x^{2}+y^{2}}}\Leftrightarrow {\frac {1}{\overline {x+iy}}}={\frac {x+iy}{|x+iy|^{2}}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {\frac {1}{r(\cos \varphi -i\sin \varphi )}}={\frac {1}{r}}(\cos \varphi +i\sin \varphi ),\ r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\ \varphi =arctg{\frac {y}{x}}$

Другие операции:

• сложение чисел;
• вычитание чисел;
• умножение чисел;
• деление чисел;
• обращение числа;
• возведение в степень;
• извлечение квадратного корня;
• извлечение кубического корня;
• извлечение корня n-ой степени;
• логарифмирование числа;
• возведение в комплексную степень;
• тригонометрические функции комплексных чисел;
• гиперболические функции комплексных чисел;
• взятие комплексно сопряжённого числа;
  • сложение комплексно сопряжённых чисел;
  • вычитание комплексно сопряжённых чисел;
  • умножение комплексно сопряжённых чисел;
  • деление комплексно сопряжённых чисел;
  • обращение комплексно сопряжённого числа.