Логарифм комплексного числа

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Риманова поверхность для комплексного логарифма
ТФКП логарифм комплексного числа [0:41]

Логарифм комплексного числа (комплексный логарифм) — это решение уравнения вида ez = c относительно комплексной переменной z. В теории функций комплексного переменного рассматривается как многозначная аналитическая функция.

Содержание

[править] Обозначения

Введём обозначения:

x — действительная часть (абсцисса) числа;

y — мнимая часть (ордината) числа;

r — модуль комплексного числа;

φ — аргумент комплексного числа;

x + iy — комплексное число;

ln x — натуральный логарифм вещественного числа;

Ln(x + iy) — комплексный натуральный логарифм.

[править] Формула

[math]Ln(x+iy)=\ln \sqrt{x^2+y^2} + i\left(arctg \frac{y}{x} + 2\pi n\right), \ n \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow[/math]
[math]Ln\left[r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\right]=\ln r + i(\varphi + 2\pi n), \ r = \sqrt{x^2+y^2}, \ \varphi = arctg \frac{y}{x}, \ n \in \mathbb{Z} [/math]

[править] Примеры:

[math]Ln(x) = \ln(x)+2\pi ni, \ x \gt 0, \ n \in\mathbb{Z}[/math]
[math]Ln(-x) = \ln(x)+(2n+1)\pi i, \ x \gt 0, \ n \in\mathbb{Z}[/math]
[math]Ln(iy) = \ln(y)+\left(2n+\frac{1}{2}\right)\pi i, \ y \gt 0, \ n \in\mathbb{Z}[/math]
[math]Ln(1) = 2\pi ni, \ n \in\mathbb{Z}[/math]
[math]Ln(-1) = (2n+1)\pi i, \ n \in\mathbb{Z}[/math]
[math]Ln(i) = \frac{4n+1}{2}\pi i, \ n \in\mathbb{Z}[/math]
[math]Ln(-i) = \frac{4n-1}{2}\pi i, \ n \in\mathbb{Z}[/math]

[править] См. также

[править] Другие операции:

[править] Литература

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970, стр.623.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты