Деление комплексных чисел

Частное от деления комплексных чисел — это результат операции деления, примененной к паре комплексных чисел.

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — действительная часть (абсцисса) первого числа;

y₁ — мнимая часть (ордината) первого числа;

x₂ — действительная часть (абсцисса) второго числа;

y₂ — мнимая часть (ордината) второго числа;

r₁ — модуль первого числа;

φ₁ — аргумент первого числа;

r₂ — модуль второго числа;

φ₂ — аргумент второго числа;

x₁ + iy₁ — первое комплексное число;

x₂ + iy₂ — второе комплексное число.

Формула

${\frac {x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}}={\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}+i{\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {\frac {r_{1}(\cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})}{r_{2}(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}[\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})],$

$r_{1}={\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}},\ r_{2}={\sqrt {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}},\ \varphi _{1}=arctg{\frac {y_{1}}{x_{1}}},\ \varphi _{2}=arctg{\frac {y_{2}}{x_{2}}}$

Формула следует из формулы обращения делителя (второго числа) и формулы для произведения (делимое умножается на обратное к делителю комплексное число).

Другие операции

• сложение чисел;
• вычитание чисел;
• умножение чисел;
• деление чисел;
• обращение числа;
• возведение в степень;
• извлечение квадратного корня;
• извлечение кубического корня;
• извлечение корня n-ой степени;
• логарифмирование числа;
• возведение в комплексную степень;
• тригонометрические функции комплексных чисел;
• гиперболические функции комплексных чисел;
• взятие комплексно сопряжённого числа;
  • сложение комплексно сопряжённых чисел;
  • вычитание комплексно сопряжённых чисел;
  • умножение комплексно сопряжённых чисел;
  • деление комплексно сопряжённых чисел;
  • обращение комплексно сопряжённого числа.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970, стр.3б.