Деление (математика)

Деление — это арифметическая операция, которая выполняется для двух чисел (делимое и делитель) и состоит в нахождении числа, которое будет умножаться на делитель. Таким образом, деление — это операция, обратная умножению.

Число, являющееся результатом операции деления двух чисел, называется частным этих чисел.

Менее формально суть деления состоит в том, чтобы ответить на вопрос «сколько раз повторяется второе в первом?» или «сколько раз вы можете вычесть второе из первого?» Необходимость деления логически возникает при распределении чисел по группам одинакового размера. Например,

• скорость машины 80 км/ч. В какое время она преодолеет расстояние в 320 км? (Ответ: 320 : 80 = 4 часа)
• на сколько дней хватит пачек по 28 таблеток, если принимать по 4 в день? (Ответ: 28 : 4 = 7)
• сколько пар ботинок можно купить за 450 рублей, если одна пара стоит 90 рублей? (Ответ: 450 : 90 = 5)

Деление обозначается знаком ": ", который помещается между двумя операндами. Например, запись «A : B» означает «разделить A на B». Обозначение «A : B = C» означает: число C является частным чисел A и B.

В вычислениях и программировании обозначение операции деления на знак «/» также распространено.

Любая дробь также может рассматриваться как запись операции деления, в которой делимое является числителем, а делитель — знаменателем дроби.

Принимая во внимание определение деления,

A × B = C => C: A = B, C: B = A

Соответственно,

A: B = C => B × C = A, A: C = B

Делимость и деление с остатком

Операция деления не замкнута на множестве натуральных чисел. Это означает, что не для каждых двух натуральных чисел существует натуральное число, которое является их делителем. Если для чисел a и b такое число еще существует, то говорят, что a делится на b, b делитель a или a, кратно b. Наличие делителя для некоторых чисел называется их делимостью.

Проблема открытости операции деления решается путем введения понятия дроби и перехода к множеству рациональных чисел.

Рассматриваются также операции целочисленного деления и деления с остатком. Результатом целочисленного деления двух натуральных чисел является наибольшее из чисел, результат умножения которого на делитель не превышает делителя. Например,

7 : 2 = 3 (ибо 2 × 3 = 6, а 2 × 4 = 8 > 7)

Результат целочисленного деления также называется неполным делением.

Остальная часть от деления числа a на число b — это разница между числом a и ближайшим (нижним) числом, делимым на b. Например, остаток от деления 26 на 7 равен 5, потому что ближайшее к 26 (снизу) число, кратное 7, равно 21, и это на 5 меньше, чем 26.

Любое число a может быть представлено как qb + r, где q — доля (или неполная доля) деления a на b, r — остаток от этого деления. Для любой пары чисел a и b такое представление уникально.