Натуральные числа

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Kampus.kz: Математика. Урок 1 - Числа: Натуральные числа
Математика. Натуральные числа: Натуральные числа. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд» [4:55]

Натуральные числа — это ряд чисел 1, 2, 3, …, представляющих собой число предметов или более строго — мощности (количества элементов) непустых конечных множеств. Эти числа выражают меры конечного количества отдельных объектов, а также выражают порядок равномерного однонаправленного счёта (каждое натуральное число имеет «свое» место — уникальный номер).

Натуральных чисел бесконечно много.

Понятие и соответствующая теоретическая концепция прослеживается с глубокой древности человечества. Познание натуральных чисел на элементарном уровне называется арифметикой, а на более глубоком уровне — является частью теории чисел («высшей арифметики»).

В современной математике натуральные числа определяются аксиоматически и могут также включать число 0 — мощность пустого множества. В российской математической литературе ноль обычно в множество натуральных чисел не включают. Распространенное обозначение множества натуральных чисел — [math]\mathbb{N}[/math].

Содержание

Формальное определение

Индуктивное (рекурсивное) определение: Натуральные числа, не считая ноля, — это единица или её сумма с любым другим натуральным числом.

Натуральные числа могут быть описаны аксиоматически. Одна из возможных систем — аксиомы арифметики Пеано:

  1. Единица есть натуральное число: [math]1\in \mathbb{N}[/math];
  2. Число, следующее за натуральным, также является натуральным числом: [math]n \in \mathbb{N} \implies n+1 \in \mathbb{N}[/math];
  3. Единица не следует ни за каким натуральным числом: [math]\nexists n : n+1=1[/math]
  4. Если натуральное число a следует за натуральным числом b и a следует за натуральным числом с, то b = c: [math](a=b+1) \land (a=c+1) \implies b=c[/math];
  5. Аксиома математической индукции: Если утверждение (зависящее от параметра) доказано для числа 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, следует, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предположение), то это утверждение верно для всех натуральных чисел.

Последняя аксиома позволяет доказывать утверждения сразу обо всей бесконечной последовательности натуральных чисел с помощью метода математической индукции.

Система обозначения

Существуют различные методы обозначения натуральных чисел, обычно называемые системами счисления.

С дополнением метки-заполнителя — структурного ноля — натуральные числа можно записать в произвольной позиционной системе счисления, например, — в двоичной (обычно применяемой в компьютерах): 1, 10, 11, 100, 101… — или в распространенной в настоящее время в литературе и в быту десятичной: десятью арабскими цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 можно записать любое число: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … 99, 100, 101, 102 … В языке выражаются через числительные.

Всякая из этих систем — способ производства уникального номера для любого из бесконечного множества чисел. Из формы этого названия можно обычно без справочных материалов получить идентичность натурального числа, его место в ряду натуральных и другие свойства (например, делимость.)

История

Ряд древних цивилизаций: Древнее Междуречье, Древний Египет, Древний Китай, Майя знали натуральные числа и имели различные системы для их обозначения. Концепция, что существует число ноль, по видимому, появилась позже, чем понятие натуральных чисел — только в позднем Вавилоне и у Майя.

Как отдельная наука, изучающая чистые, формальные свойства натуральных чисел, теория чисел, или высшая арифметика, основополагается в работах математика-любителя Пьера де Ферма.

Операции

Натуральные числа целиком охвачены арифметикой, так как можно:

  • их складывать и перемножать любым образом,
  • вычитать меньшее число из большего,
  • делить число на любой из образующих его множителей.

По сложению натуральные числа образуют коммутативную полугруппу: любые два натуральных числа можно сложить, и сложение коммутативно и ассоциативно:

[math]a+b=b+a[/math] (коммутативность или перестановочное свойство: от перемены мест слагаемых сумма не меняется)
[math](a + b) + c=a + (b + c)[/math] (ассоциативность)

Умножение натуральных чисел также коммутативно и ассоциативно:

[math]a \cdot b = b \cdot a[/math]
[math](a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)[/math]

Умножение дистрибутивно по сложению:

[math]a\cdot(b+c) = a \cdot b + a \cdot c[/math]

Натуральные числа вполне упорядочены: в любом их подмножестве будет минимальный элемент. Это является как бы «отражением» правила индукции, принцип метода бесконечного спуска.

Если из большего числа «отсчитать обратно по единице», «вычесть», меньшее, то получится другое меньшее, а [math]a-b=b, a \gt b \iff a=2b[/math]. Уже у целых чисел такое определение нарушается ровно в «другой половине случаев», когда вычитается отрицательное, давая число, большее первого.

Каждое натуральное число, большее единицы, обладает единственным с точностью до порядка сомножителей разложением на простые множители: основная теорема арифметики.

Расширение до целых чисел и дальше

Если к натуральным числам добавить ноль и отрицательные числа (обратные к натуральным по сложению), то в совокупности получится расширение понятия числа до кольца целых чисел [math]\mathbb{Z}[/math], которое лежит в основе теории чисел. Отрицательные числа можно мыслить как получаемые путем обратного счёта — последовательного убавления по единице, которое вводит ряд отрицательных чисел, каждое из которых сложением обнуляет противоположное ему натуральное: [math]n+(-n)=0[/math].

Если рассматривать отношения целых чисел — дроби — то получится поле рациональных чисел [math]\mathbb{Q}[/math]. Пополнение этого поля по стандартной метрике (расстояние между числами равно модулю их разности) будет представлять собой поле действительных чисел [math]\mathbb{R}[/math], представимое как допустимо бесконечные и апериодичные цепные дроби. Алгебраическое замыкание поля действительных чисел образует поле комплексных чисел [math]\mathbb{C}[/math] (его можно представлять как поле действительных чисел, к которому добавлена мнимая единица [math]i[/math]: [math]i^2=-1[/math].

Литература

  • Бухштаб А. А. Теория чисел — М.: «Просвещение», 1966.
  • К. Айерленд, М. Роузен, Классическое введение в современную теорию чисел — М., 1987.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты