Натуральные числа

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Kampus.kz: Математика. Урок 1 - Числа: Натуральные числа
Математика. Натуральные числа: Натуральные числа. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд» [4:55]

Натуральные числа — это ряд 1, 2, 3, 4, 5… — чисел, каждое из которых выражает счетное количество предметов: мощность конечного множества элементов, означающих те предметы. Указывают количество и порядок следования перенумерованных объектов (каждое натуральное число имеет «свое» место — уникальный номер).

В полной совокупности натуральные числа суть математический объект: это бесконечное множество, вполне упорядоченное, с минимальным элементом (нуль или единица), со сложением и умножением.

Понятие и соответствующая теоретическая концепция прослеживается с глубокой древности человечества. Познание натуральных чисел на элементарном уровне называется арифметикой, а на более глубоком уровне — является частью теории чисел («высшей арифметики»). Натуральные числа стали основой для развития ряда дисциплин классической математики.

В математической традиции с XIX века натуральные числа определяются через аксиомы и зачастую включают 0 (нуль или ноль,) — мощность пустого множества, «количество» «ни одного предмета» (в российской математической литературе 0 обычно не считается натуральным числом). Распространенное обозначение множества натуральных чисел — [math]\mathbb{N}[/math].

Содержание

[править] Формальное определение

Индуктивное (рекурсивное) определение: Натуральные числа, не считая ноля, — это единица или её сумма с любым другим натуральным числом.

Натуральные числа могут быть описаны аксиоматически. Одна из возможных систем — аксиомы арифметики Пеано:

  1. Единица есть натуральное число: [math]1\in \mathbb{N}[/math];
  2. Число, следующее за натуральным, также является натуральным числом: [math]n \in \mathbb{N} \implies n+1 \in \mathbb{N}[/math];
  3. Единица не следует ни за каким натуральным числом: [math]\nexists n : n+1=1[/math]
  4. Если натуральное число a следует за натуральным числом b и a следует за натуральным числом с, то b = c: [math](a=b+1) \land (a=c+1) \implies b=c[/math];
  5. Аксиома математической индукции: Если утверждение (зависящее от параметра) доказано для числа 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, следует, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предположение), то это утверждение верно для всех натуральных чисел.

Последняя аксиома позволяет доказывать утверждения сразу обо всей бесконечной последовательности натуральных чисел с помощью метода математической индукции.

[править] Система обозначения

Существуют различные методы обозначения натуральных чисел, обычно называемые системами счисления. С дополнением метки-заполнителя — структурного ноля — натуральные числа можно записать в произвольной позиционной системе счисления, например, — в двоичной (обычно применяемой в компьютерах): 1, 10, 11, 100, 101… — или в распространенной в настоящее время в литературе и в быту десятичной: десятью арабскими цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 можно записать любое число: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … 99, 100, 101, 102 … В языке выражаются через числительные.

Всякая из этих систем — способ производства уникального номера для любого из бесконечного множества чисел. Из формы этого названия можно обычно без справочных материалов получить идентичность натурального числа, его место в ряду натуральных и другие свойства (например, делимость.)

[править] История

Ряд древних цивилизаций: Древнее Междуречье, Древний Египет, Древний Китай, Майя знали натуральные числа и имели различные знаковые системы для указания (фиксации, означения). Концепция числа ноль, по видимому, появилась позже, чем понятие натуральных чисел: явное употребление структурного нуля известно у культур Вавилон и Майя.

Как отдельная наука, изучающая чистые, формальные свойства натуральных чисел, Теория чисел, или высшая арифметика, основополагается в работах математика-любителя Пьера де Ферма.

[править] Операции

Натуральные числа целиком охвачены арифметикой, так как можно:

  • их складывать и перемножать любым образом,
  • вычитать меньшее число из большего,
  • делить число на любой из образующих его множителей.

По сложению натуральные числа образуют коммутативную полугруппу: любые два натуральных числа можно сложить, и сложение коммутативно и ассоциативно:

[math]a+b=b+a[/math] (коммутативность или перестановочное свойство: от перемены мест слагаемых сумма не меняется)
[math](a + b) + c=a + (b + c)[/math] (ассоциативность)

Умножение натуральных чисел также коммутативно и ассоциативно:

[math]a \cdot b = b \cdot a[/math]
[math](a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)[/math]

Умножение дистрибутивно по сложению:

[math]a\cdot(b+c) = a \cdot b + a \cdot c[/math]

Натуральные числа — множество вполне упорядоченное: в любом подмножестве будет минимальный элемент. Это словно «отражение» правила индукции, принцип метода бесконечного спуска.

Если из большего числа «отсчитать обратно по единице», «вычесть», меньшее, то получится другое меньшее, а [math]a-b=b, a \gt b \iff a=2b[/math]. Уже́ у целых чисел такое определение нарушается ровно в «другой половине случаев», когда вычитается отрицательное, выдавая число, большее первого.

Каждое натуральное число >1 обладает единственным с точностью до порядка сомножителей разложением (факторизацией) на простые множители. Это Основная теорема арифметики.

[править] Расширение до целых чисел и дальше

Если к натуральным числам добавить ноль и отрицательные числа (обратные натуральным по сложению), то в совокупности получится расширение понятия числа до кольца целых чисел [math]\mathbb{Z}[/math], которое наиболее четко являет основу теории чисел. Отрицательные числа можно мыслить, как получаемые от обратного счёта — последовательного убавления по единице — которое вводит ряд отрицательных чисел. Из тех каждое сложением обнуляет противоположное ему натуральное: [math]n+(-n)=0[/math].

Если рассматривать отношения целых чисел — дроби — то получится поле рациональных чисел [math]\mathbb{Q}[/math]. Пополнение этого поля по стандартной метрике (расстояние между числами равно модулю их разности) будет представлять собой поле действительных чисел [math]\mathbb{R}[/math], представимое как допустимо бесконечные и апериодичные цепные дроби. Алгебраическое замыкание поля действительных чисел образует поле комплексных чисел [math]\mathbb{C}[/math] (его можно представлять как поле действительных чисел, к которому добавлена мнимая единица [math]i[/math]: [math]i^2=-1[/math].

[править] Литература

  • Бухштаб А. А. Теория чисел — М.: «Просвещение», 1966.
  • К. Айерленд, М. Роузен, Классическое введение в современную теорию чисел — М., 1987.


Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты