Поле (алгебра)

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Кольца и поля. Математические структуры. Урок 82 // MathTutor

Поле в алгебре — математический объект, определяемый в современной математике как коммутативное ассоциативное кольцо, в котором любой ненулевой элемент имеет обратный по умножению. Также обычно считается, что при этом 1 ≠ 0 (то есть нейтральные элементы по сложению и умножению различны). Характерные примеры полей: действительные числа [math]\mathbb R[/math], рациональные числа [math]\mathbb Q[/math]. Концепция поля была введена в XIX веке в работах по решению классической проблемы нахождения формул для решения полиномиального уравнения [math]n[/math]-й степени. Поле является базовым объектом коммутативной алгебры, на основе понятия поля строится алгебраическая геометрия.

В учебниках алгебры поле обычно обозначается латинской буквой K или F .

Содержание

[править] Развернутое определение

Поле — нетривиальное[1] множество (алгебраическая структура) с бинарными операциями сложения + и умножения [math]\cdot[/math], которые:

  • коммутативны [math]a + b = b + a[/math], [math]a \cdot b = b \cdot a[/math];
  • ассоциативны [math](a + b) + c = a + (b + c)[/math], [math](a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)[/math];
  • умножение дистрибутивно по отношению к сложению [math]a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c[/math];
  • любой элемент [math]a[/math] имеет противоположный по сложению [math]-a[/math], такой что [math]a + (-a) = 0[/math];
  • любой ненулевой элемент [math]a[/math] имеет обратный по умножению [math]a'[/math], такой что [math]a \cdot a' = 1[/math].

[править] Примеры и конструкции

Примеры полей: поле рациональных чисел [math]\mathbb Q[/math], поле действительных чисел [math]\mathbb R[/math], конечное поле из [math]p[/math] элементов [math]\mathbb F_p[/math] ([math]p[/math] — простое число), поле рациональных функций от одной переменной [math]K(x)[/math] (где [math]K[/math] — некоторое поле).

Поле можно получить из целостного кольца, то есть кольца с коммутативным и ассоциативным умножением, без делителей нуля (произведение ненулевых элементов не равно нулю), если взять его поле частных, то есть ввести естественным образом сложение и умножение на множестве формальных дробей [math]a/b[/math] ([math]b \ne 0[/math]). Таким образом, например, из кольца целых чисел [math]\mathbb Z[/math] получается поле рациональных чисел [math]\mathbb Q[/math].

Если дано поле [math]K[/math], то вмещающим его полем будет алгебраическое замыкание [math]K'[/math], получающееся путем присоединения всех корней алгебраических уравнений с коэффициентами поля [math]K[/math]. Например, алгебраическим замыканием поля действительных чисел [math]\mathbb R[/math] является поле комплексных чисел [math]\mathbb C[/math]. Для доказательства существования алгебраического замыкания в общем случае требуется использование аксиомы выбора.

Поле с введенной на нем метрикой может быть вложено как метрическое пространство в свое пополнение (то есть в пополнении любая фундаментальная последовательность будет иметь предел). На пополнении можно ввести структуру поля, продолжив операции сложения и умножения по непрерывности. Так, пополнением поля рациональных чисел [math]\mathbb Q[/math] по стандартной метрике (расстояние между числами равно модулю их разности) будет полем действительных чисел [math]\mathbb R[/math]. Пополнением поля рациональных чисел по метрике, задаваемой [math]p[/math]-адической нормой, будет полем [math]p[/math]-адических чисел [math]\mathbb Q_p[/math].[2]

В алгебраической геометрии вводится поле рациональных функций на алгебраическом многообразии [math]X[/math], например, поле рациональных функций на кривой.

[править] Конечные поля

Поле, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным полем (упоминавшиеся выше поля рациональных и действительных чисел бесконечные). Примером конечного поля будет кольцо вычетов по модулю [math]p[/math], состоящее из [math]p[/math] элементов [math]Z/pZ,[/math] если [math]p[/math] — простое число. Любое конечное поле имеет [math]q = p^k[/math] для некоторого простого числа [math]p[/math] и существует ровно одно поле из [math]q = p^k[/math] элементов для каждого простого числа [math]p[/math] и каждого натурального числа [math]k[/math]. Группа ненулевых элементов по умножению конечного поля является циклической. Конечные поля используются в теории кодирования и криптографии.

[править] История

Концепция поля появилась в XIX веке в работах Нильса Абеля и Галуа, посвященных проблеме разрешимости уравнений в радикалах. Эта проблема была поставлена в связи с необходимостью решать уравнение [math]n[/math]-й степени [math]a_0x^n + a_1x^{n-1}+ ... + a_{n-1}x + a_n = 0[/math] в радикалах, т. е. найти выражения для решений этого уравнения с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корней различных степеней. К XIX веку были найдены выражения для решения общих уравнений 1, 2, 3, 4-й степени, но не было известно формул для решения общих уравнений более высоких степеней. Теория Галуа, оперирующая с полями, прояснила этот вопрос. Классическая теория Галуа имеет дело с конечными алгебраическими расширениями полей, которые представляют собой расширения исходного поля (например, поля рациональных чисел [math]\mathbb Q[/math]) путем присоединения конечного числа корней уравнений с коэффициентами из базового поля. Галуа сопоставил таким расширениям конечные группы автоморфизмов, сохраняющих на месте базовое подполе, и доказал, что разрешимость уравнения в радикалах эквивалентна разрешимости конечной группы соответствующего алгебраического расширения, тем самым решив классическую математическую проблему о разрешимости алгебраических полиномиальных уравнений в радикалах. Например, из теории Галуа следует, что общее уравнение пятой степени и выше неразрешимо в радикалах.

Термин «поле» появился позднее в XIX веке и введен в математических работах Дедекинда.

[править] Примечания

  1. Т.е. состоит из более, чем одного элемента
  2. Любое рациональное число [math]r[/math] можно представить как [math]r=p^n\frac ab[/math] где [math]a[/math] и [math]b[/math] целые числа, не делящиеся на заданное простое число [math]p[/math], а [math]n[/math] — целое. Тогда [math]|r|_p[/math] — [math]p[/math]-адическая норма [math]r[/math] — определяется как [math]p^{-n}[/math]. Если [math]r=0[/math], то [math]|r|_p=0[/math].

[править] Литература

  • Ван дер Варден Б. Л. Современная алгебра. т.т.1-2, М-Л: ОНТИ НКТП, 1937.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты