Целые числа

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Математика. Урок 6 - Числа: Целые числа

Целые числа — математический объект, представляющий собой множество, получающееся из натуральных чисел добавлением к ним нуля и противоположных натуральным по сложению отрицательных чисел. Целые числа, упорядоченные по возрастанию образуют бесконечный в обе стороны ряд: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Целые числа появляются в арифметике, а с точки зрения алгебры являются кольцом. В современной русскоязычной математической литературе обозначаются символом [math]\mathbb Z[/math].

[править] История

Отрицательные числа и, соответственно, целые числа как расширение известных с древности натуральных чисел, появились в опубликованной в 1544 году книге «Полная арифметика» математика Михаэля Штифеля (1487—1567) и в работах Николя Шюке (1445—1500).

[править] Свойства

Свойства целых чисел во многом подобны натуральным числам. В отличии от натуральных чисел, по сложению целые числа образуют (бесконечную) коммутативную группу, которая является циклической (порождена единичным элементом). Иначе говоря, сложение целых чисел коммутативно: [math]a + b = b + a[/math], ассоциативно: [math]a + (b + с)= a + (b + c)[/math], 0 - целое число, и для любого целого [math]a[/math]есть противоположное [math]-a[/math] тоже целое: [math]a + (-a)= 0[/math], и, наконец, любое ненулевое целое число [math]n[/math] можно представить как [math]1 + 1 + ... + 1[/math] ([math]n[/math] раз) либо [math]-(1 + 1 + ... + 1)[/math] ([math]n[/math] раз).

Каждое целое число либо ноль, либо положительное, либо отрицательное. Положительные целые числа — это натуральные числа. Отрицательное число [math]-n[/math] — это такое число, что [math]n[/math] — натуральное число и [math]n + (-n) = 0[/math].

Умножение целых чисел коммутативно и ассоциативно:

[math]a \times b = b \times a[/math]
[math]a \times (b \times с) = a \times (b \times c)[/math]

В кольце целых чисел возможно деление с остатком, то есть в нем присутствует единственность разложения на простые сомножители, которые являются простыми числами (см. Основная теорема арифметики).

Кольцо целых чисел не имеет делителей нуля, то есть произведение любых двух ненулевых целых чисел не равно нулю. Поле частных кольца целых чисел является полем рациональных чисел.

[править] Литература

  • Бухштаб А. А. Теория чисел — М.: «Просвещение», 1966.
  • К. Айерленд, М. Роузен, Классическое введение в современную теорию чисел — М., 1987.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты